Espacio vectorial

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Espacio vectorial

Rango

En matemáticas, el teorema rango–nulidad del álgebra lineal, en su forma más sencilla, habla de la relación entre el número de columnas de una matriz, su rango y su nulidad. Específicamente, si A es una matriz de orden m x n (con m filas y n columnas) sobre algún cuerpo, entonces

Espacio renglón

Definición: Supongamos que A es una matriz de tamaño m ⇥ n. El espacio fila o renglón de A es el subespacio de Rn generado por las filas de A. Este subespacio se denota por Ren(A).

Espacio columna de una matriz

El espacio columna de una matriz es la imagen de la transformación lineal asociada a dicha matriz, y como el rango de una matriz coincide con la dimensión de la imagen, podemos concluir que la dimensión del espacio columna de A es igual al rango de A

Nulidad

NA se denomina el espacio nulo de A y í(A) = dim NA se denomina nulidad de A. Si NA contiene sólo al vector cero, entonces í(A) = 0. Nota. El espacio nulo de una matriz también se conoce como kernel.

Dimensión de un espacio vectorial

La dimensión de un espacio vectorial (también llamada dimensión de Hamel de un espacio vectorial, para distinguirla de la dimensión de Hilbert en el caso de los espacios de Hilbert) es el número de vectores que forman una base [de Hamel] del espacio vectorial.

Independencia Lineal de Vectores

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por ejemplo, en R3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el tercero es la suma de los dos primeros.

Combinaciones Lineales

una combinación lineal es una expresión matemática que consiste en la suma entre pares de elementos, de determinados conjuntos, multiplicados entre sí. En particular, la combinación lineal de un sistema de vectores se trata de un vector de la forma v=k_1 v_1+k_2 v_2+⋯…k_n v_n= ∑_(i=1)^n▒〖v_i k_i 〗 con los k_i elementos de un cuerpo. La definición, provista de esta manera, da lugar a otras definiciones y herramientas importantes, como son los conceptos de independencia lineal y base de un espacio vectorial.

Espacio generado

En álgebra lineal, dado un espacio vectorial V, se llama sistema generador de V a un conjunto de vectores, pertenecientes a V, a partir del cual se puede generar el espacio vectorial V completo. En este caso, el espacio vectorial V se denomina conjunto generado o espacio generado

Propiedades

Producto del escalar 0 por un vector

Producto de un escalar por el vector neutro

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo K

Unicidad del elemento 1 en el cuerpo K

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4

Unicidad del vector neutro de la propiedad 3

Definición

En álgebra lineal, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna y una operación externa que satisface 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo se les conoce como escalares