Fundamento de números
Relación de orden
Se define como una relación R en un conjunto A el cual verifica propiedades reflexivas, antisimétrica, y transitiva reflexiva. R es una relación de orden total en A.
Elementos notables de A: a) Minimal de A: Todo aquel elemento a ∈ A, tal que si b ≤ a entonces a = b. b) Maximal de A: Todo aquel elemento a ∈ A, tal que si a ≤ b entonces a = b. c) Mínimo de A: Elemento a de A tal que a ≤ b (b ∈ A). d) Máximo de A: Elemento a de A tal que b ≤ a (b ∈ A). e) Cota inferior de B: Cualquier elemento a ∈ A tal que a ≤ b para todo b ∈ B. f) Cota superior de B: Cualquier elemento a ∈ A tal que b ≤ a para todo b ∈ B. g) Ínfimo de B: Máximo de las cotas inferiores de B. h) Supremo de A: Mínimo de las cotas superiores de B
En este caso si a y b son elementos de A tales que aRb, lo denotaremos por a ≤ b.
Si ≤ verifica la propiedad de que dados a y b en A, entonces a ≤ b o b ≤ a
Un conjunto ordenado (A, R) es un par formado por un conjunto A y una relación de orden R definida en él.
Propiedades del campo de los números reales
Son indispensables para la ordenación y la solución de problemas
Elemento inverso multiplicativo: Un número es opuesto del otro si al multiplicarlos se obtiene el elemento unidad (a*1/a=1)
Elemento inverso aditivo: Todo número real tiene un inverso, si se suma el número y su inverso el resultado es cero (a-a=0)
Elemento neutro multiplicativo: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación (a*1=a)
Elemento neutro aditivo: El cero es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con el da el mismo (a+0=a)
Distributiva: Suma respecto a multiplicación {a(b+c)=ab+ac}, el factor se distribuye a cada sumando.
Asociativa: Pueden hacerse diferentes asociaciones al sumar {a+(b+c)}={(a+b)+c} o multiplicar {a(bc)}={(ab)c} sin afectar el resultado.
Conmutativa: El orden al sumar (a+b=b+a) o multiplicar (ab=ba) no afecta al resultado.
Cerradura: Relaciona 2 elementos de un conjunto con una operación (3+3=5 ∈ R)
Clasificación de los números reales
El concepto primitivo de número corresponde al de "número natural", son aquellos que se utilizan para contar o enumerar objetos.
Complejo: Grupo de cifras resultante de la suma entre un número real y uno imaginario, aquel cuyo cuadrado es negativo, se representa con la C.
Irracional: Aquel que no puede ser escrito en una fracción, sus decimales son infinitos, se dividen en algebráicos y trascendentes, los representa la I.
Racional: La división de los enteros, (fracción común en la que ni el numerador ni el denominador es 0 o menos), se divide en enteros y fraccionarios, se representa con la letra Q.
Entero: Conjunto de números naturales, enteros negativos y el cero, se representa con la Z.
Natural: Símbolo que permite representar la cantidad de elementos que tiene un conjunto, se representa N.
Números primos
Son aquellos números enteros mayores que 0 que solo son divisibles entre ellos mismos y el número 1, es decir, que tienen únicamente dos divisores.
Números primos gemelos: Aquellos números primos tales que restados entre si dan 2, dos números primos (a, b) son primos gemelos si se cumple a – b = 2, siendo a > b.
Ambos deben ser números primos impares consecutivos. (3 y 5)
Números primos entre sí dos a dos: Son tres o más números tales que cada uno de ellos es primo. (Así, 8, 9 y 17 son primos dos a dos, porque el 8 es primo con 9 y con 17)
Número primo relativo o primo entre si: Aquel entero que no tiene ningún factor primo en común, su máximo común divisor es 1, no tienen porqué ser primos individualmente. (4 y 9)
Tabla de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151
Número compuesto o no primo: Aquel que además de ser divisible por si mismo y por la unidad lo es por otro factor. (4,9,15)
Absoluto o simple: Divisible por si mismo y por la unidad. (5,7,11,29)
Tipos de fracciones
Mixta: (También llamadas números mixtos o fracciones con enteros) son la suma de un número entero y una fracción propia, es una cantidad de unidades enteras más la parte de otra unidad. (3 enteros 2/6)
Números Mixtos como fracciones Impropias:
1.- Multiplicar el denominador de la fracción por el número entero.
2.- Sumar el producto al numerador de la fracción.
3.- La suma es el numerador de la fracción impropia.
4.- El denominador de una fracción impropia es el mismo que el denominador de la parte fraccional del número mixto.
Impropias: Representan números mayores que la unidad, se caracterizan por tener el numerador mayor que el denominador. (es 1 o mayor que 1) (9/4)
Fracciones Impropias como números mixtos: 1.-Dividir el denominador entre el numerador.
2.-El cociente es el número entero del número mixto.
3.-El residuo es el numerador de la parte fraccional del número mixto.
4.-El divisor es el denominador de la parte fraccional del número mixto.
Propias: Aquellas que representan números menores que la unidad, se caracterizan por tener el numerador menor que el denominador. (mayores que 0 y menores que 1) (5/9)
Elementos que componen una fracción
Las fracciones son consecuencia de expresar cantidades en las que los objetos están partidos en partes iguales.
Una fracción es el cociente de dos números, es una división sin realizar, representa el valor o número que resulta al realizar esa división.
-La raya de fracción: Es una raya horizontal (o diagonal) que los separa.
-El denominador: Es el número de abajo, indica el número de partes en que dividimos a cada unidad.
-El numerador: Es el número de arriba, indica las partes que tenemos.
