Логарифми

Meer zoals dit

Люксембург

door Litvinova Maria

Музика

door Діма Гаврилюк

КОМПЛЕКСНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ

door Софія Скобєлєва

внеурочная деятельность по математике

door Наталья Ванцова

Логарифми

У 1614 році шотландський математик-аматор Джон Непер опублікував на латинській мові твір під назвою «Опис дивовижної таблиці логарифмів». Термін логарифм, запропонований Непером, утвердився в науці.

Логарифмом додаткового числа b за основою а  (a>0, a≠0) називається ступінь показника, до якого необхідно піднести, щоб одержати і позначити log _a b.

Логарифми в житті людини

Логарифмічна функція запускається у зв'язку з найрізноманітнішими природними формами. По логарифмічних спіралях розташовуються квітки в суцвіттях соняшника, закручуються раковини молюска Nautilus, роги гірського барану і дзьоби папуг. Один із павуків, епейра, розплітаючи павутиння , закручує нітки навколо центру по логарифмічним спіралям.

Павутина

Логарифмічна спіраль

Рівняння

Логарифмічними засобами рівняння , які складаються зі зміною під знаком логарифма. 

Розв'язати логарифмічне рівняння – це означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має.

Основні методи розв'язування логарифмічних рівнів:

1. Метод зведення логарифмічного рівня до алгебраїчного.
2. Метод потенціювання. 
3. Метод зведення логарифмів до однієї основи.
4. Метод логарифмування.
5. Графічний метод розв'язування логарифмічних рівнів.

Типи

Основні властивості логарифмів:

• Логарифм одиниці за будь-якою основою дорівнює нулю.
• Логарифм добутку додатних чисел дорівнює сумі логарифмів множників.
• Логарифм частки додатних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника.
• Логарифм степеня додатного числа дорівнює добуткові показника степеня на логарифм основи цього степеня.

Тотожність

Формули

Музика

Саме Піфагор створив першу математичну теорію музики, і хоча музиканти не дуже люблять перевіряти „алгеброю гармонію”, вони весь час мають справу з математикою, бо сучасна гама обґрунтовується на логарифмах. Будемо називати найнижчу октаву нульовою; кількість коливань ноти до цієї октави за 1 секунду використовуємо за 1.Тоді ноти до першої октави буде робитися на два рази більше коливань. Позначимо всі ноти хроматичної гами номерами р , приймаючи за нульовий перший тон кожної гами. Тоді тон сол буде 7-й, ля -9-й, 12-й тон буде робити знову, тільки октавою вище. 

Леонард Ейлер

"Граючи на клавішах сучасного роялю, музикант, чесно кажучи, грає на логарифмах"

Піфагор

Піфагор був не тільки великим математиком, а й хорошим музикантом. Він встановив, що приємні сполучення звуків відповідають певному складу між довгою струною, що коливаються, або відстаням між дірочками сопілки. Саме він створив першу математичну теорію музики, і хоча музиканти не дуже люблять перевіряти „алгебру гармонію”, вони весь час мають справу з математикою, бо сьогодні гама обґрунтовується на логарифмах. 

Функція

Логарифмічною функцією  називається функція вигляду y=log _a x, де a>0, a≠0. Множина значення логарифмічної функції — множина R усіх дійсних чисел.

Властивість логарифмічної функції

• Визначення області: D(y): x ϵ (0; +∞).
• Область значень: E(y): y ϵ (-∞;+∞).
• Парність / непарність: функція ні парна, ні непарна
• Екстремумні функції: функція не має екстремумів.

Властивості

Графіки

Нерівності

Логарифмічні нерівності - це нерівності, що містять змінну під знаком логарифма.

При розв'язанні логарифмічних нерівностей пам'ятаємо:

1. загальні властивості нерівностей;
2. властивість монотонності логарифмічної функції;
3. область визначення логарифмічної функції.

Приклади

Розв'язування

Схема