by Alessandro De Marco 2 years ago
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L'arcotangente, indicato generalmente con la dicitura arctanx oppure arctgx, è definito come la funzione inversa della tangente.
L'arcocoseno, indicato con la dicitura arcosx, è definito come la funzione inversa del coseno.
Possono essere indicate anche dalla dicitura della loro funzione inversa, elevata alla -1.
L'arcoseno, indicato generalmente con la dicitura arcsinx, o arcsenx oppure asinx, è definito come la funzione inversa del seno
Cos'altro c'è da sapere?
Solitamente, quando la base di un logaritmo non viene specificata, si parla di logaritmo in base 10, indicato con la dicitura logx oppure Logx. Esistono poi i logaritmi naturali, caratterizzati dal fatto che alla base presentano il numero di Nepero, o Eulero. Proprio per questo, vengono chiamati anche logaritmi neperiani, indicati con la dicitura lnx.
Come per gli esponenziali, esistono equazioni logaritmiche? E disequazioni?
Si, esistono le disequazioni logaritmiche, che sono delle disequazioni dove l'incognita compare come argomento o base di un logaritmo. Anch'essa è trascendente, per le stesse motivazioni dell'equazione logaritmica. Possono essere risolte in vari modi.
E' possibile risolvere disequazioni logaritmiche applicando le proprietà dei logaritmi, disequazioni esponenziali tramite logaritmi e graficamente.
Si, esistono le equazioni logaritmiche, che sono delle equazioni dove l'incognita compare come argomento o base di un logaritmo. Questa è trascendente, perché non riconducibile a soluzioni di polinomi. Possono essere risolte in vari modi.
Quali sono questi modi?
E' possibile risolvere equazioni logaritmiche in cui l'incognita compare in più di un logaritmo, equazioni esponenziali tramite logaritmi e graficamente.
Terza
Seconda
Prima
Come per gli esponenziali, esiste la funzione logaritmica?
Si, ed è definita come funzione avente come dominio tutto l'insieme ℝ, ma imponendo come base a>0 e a≠1. Si impone inoltre che l'argomento sia positivo.
Possiedono delle proprietà?
Proprio dalla definizione di logaritmo, si susseguono due proprietà primarie.
Seconda proprietà
Prima proprietà
Esistono le equazioni esponenziali? E le disequazioni?
Si, esistono le disequazioni esponenziali, che sono delle disequazioni contenenti almeno una potenza con l'incognita all'esponente. Per risolvere, bisogna tenere conto di queste nozioni.
Si, esistono le equazioni esponenziali, che sono delle equazioni contenenti almeno una potenza in cui compare l'incognita all'esponente.
E' possibile utilizzare qualsiasi tipo di esponente?
No, Perfino non presentando i limiti della base, deve comunque far parte dell'insieme ℝ. Questo concetto è opinabile se non si considera l'insieme i dei numeri immaginari, che consente di formare i cosiddetti numeri complessi.
E' possibile utilizzare qualsiasi tipo di base?
No, il dominio della funzione esponenziale impone che a>0 e a≠1.
Perché esistono queste due condizioni?
La base deve essere sempre positiva, perché la potenza necessitare sempre di una base positiva. Di seguito, deve essere diversa da 1, perché in caso contrario, ogni esponente x su base 1 avrebbe come risultato y=1, che risulterebbe essere graficamente una retta.
C'è qualche altra peculiarità riguardante la base?
Si, esiste una base "speciale". E' una costante, indicata con la dicitura e, e viene chiamata numero di Nepero oppure numero di Eulero, due dei matematici che ebbero il merito di contribuire a questa scoperta fondamentale; importante quanto il π (pi greco)! Il numero di Nepero, inoltre possiede due caratteristiche altrettanto fondamentali: è irrazionale e fa parte dei numeri trascendenti.
Cosa sono i numeri trascendenti?
I numeri trascendenti sono numeri irrazionali che non sono algebrici, ovvero che non sono soluzione di alcuna equazione polinomiale. In parole povere, non esiste un'equazione algebrica a coefficienti razionali che può assumerli come soluzioni.
Cosa sono i numeri irrazionali?
I numeri irrazionali, facenti parte dell'insieme I, sono i numeri reali non razionali, la cui espansione in qualunque contesto non termina mai e non forma una sequenza periodica. In parole povere, sono tutti i numeri decimali illimitati non periodici, che non possono essere espressi sotto forma di frazione.
Quali sono queste caratteristiche e proprietà?
La potenza permette di utilizzare l'intero insieme dei numeri reali, indicato con la dicitura ℝ. Proprio grazie a quest'ultimo sono state stabilite delle proprietà che valgono per tutte le potenze: quella dell'addizione, della moltiplicazione, quelle relative all'ordine e quella di completezza, conseguenza di quelle relative all'ordine.
L'ultima possiede le seguenti caratteristiche.
Le terze possiedono le seguenti caratteristiche.
La seconda possiede le seguenti caratteristiche.
La prima possiede le seguenti caratteristiche.
Che cos'è la potenza?
La potenza è un'operazione algebrica che associa ad una coppia di numeri a e n, chiamati in ordine base ed esponente, il numero dato dal prodotto di n fattori uguali ad a.
Possiede delle particolarità?
Sono elencate qui di seguito.
Quali sono queste misure?
Le misure possono essere sia angoli che lati: è però bene precisare che affinché si possa usufruire della trigonometria il dato noto fondamentale deve essere sempre un lato, definito anche come lunghezza.
Detto ciò, quanti casi è possibile incontrare?
I casi possibili sono qui.
Cos'è il triangolo?
Dato che per i triangoli esistono vari teoremi, esistono dei teoremi anche per la trigonometria?
Si, i teoremi che caratterizzano questa branca si basano tutti sui triangoli, differenziandosi per teoremi sui triangoli rettangoli e teoremi sui triangoli qualsiasi.
Quali sono quelli sui triangoli qualsiasi?
I teoremi sui triangoli qualsiasi sono qui. Da uno di questi è possibile perfino calcolare l'area del triangolo.
Quali sono quelli sui triangoli rettangoli?
I teoremi sui triangoli rettangoli sono qui.
Semplificato qui.
Quanti tipi di triangoli esistono?
Esistono triangoli in base ai lati e in base agli angoli.
Quali sono quelle in base agli angoli?
I triangoli in base agli angoli sono quello rettangolo, ottusangolo e acutangolo.
Qual è la differenza tra i tre?
Il terzo triangolo ha tutti gli angoli interni di ampiezza minore di 90°, detti angoli acuti.
Il secondo triangolo ha un angolo interno di ampiezza maggiore di 90°, detto angolo ottuso.
Il primo triangolo ha un angolo interno di ampiezza pari a 90°, detto angolo retto.
Quali sono quelli in base ai lati?
I triangoli in base ai lati sono quello scaleno, isoscele ed equilatero.
Qual'è la differenza tra i tre?
Il terzo triangolo ha tutti i lati della stessa lunghezza, oppure tutti gli angoli interni della stessa ampiezza. Questo viene considerato come caso particolare del triangolo isoscele.
Il secondo triangolo ha almeno due lati di lunghezza uguale (lati obliqui), oppure hanno due angoli della stessa ampiezza (angoli alla base).
Il primo triangolo ha tutti i lati di lunghezze differenti, oppure hanno i tre angoli interni tutti di ampiezza differente.
Il triangolo è un poligono avente tre lati e tre angoli. Questo è caratterizzato da diverse proprietà.
Quali sono queste proprietà?
Le proprietà si trovano qui.
Cos'è la circonferenza goniometrica?
La circonferenza goniometrica è un particolare tipo di circonferenza, che possiede un cosiddetto raggio unitario, ovvero raggio pari ad 1, e possiede il centro nell'origine degli assi.
A parte questo, cos'ha di speciale?
Grazie alle sue caratteristiche, permette l'unione fondamentale tra la geometria analitica e la goniometria.
Cos'è la geometria analitica?
La geometria analitica è la branca della geometria che studia le figure piane e i luoghi geometrici attraverso l'utilizzo del piano cartesiano. Proprio per questo, viene anche definita geometria cartesiana.
Cos'è la circonferenza?
La circonferenza, descritta come luogo geometrico, è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro, solitamente indicato con c. La distanza da qualsiasi punto della figura al centro è definita come raggio, indicata solitamente con r.
Algebricamente, come viene descritta?
Viene descritta da un'equazione generale e una normale, anche detta canonica.
Canonica
Generale
Cosa sono gli archi associati?
Gli archi associati sono coppie particolari di angoli, la cui somma o differenza è pari all'ampiezza di un particolare angolo. Permettono di semplificare il calcolo del funzioni goniometriche. Un esempio sono gli angoli supplementari, che differiscono di esattamente 180° e sono diametralmente opposti.
Cosa sono gli angoli supplementari?
Gli angoli supplementari sono un coppia di angoli che hanno per somma delle loro ampiezze 180°.
Cosa sono le funzioni goniometriche?
Le funzioni goniometriche sono le funzioni di un angolo, ovvero quelle che variano in funzione dell'angolo. Sono definite spesso come rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo contenente l'angolo.
Da cosa sono definite queste funzioni?
Considerato un angolo α in posizione normale e A il punto di intersezione del secondo lato dell'angolo con la circonferenza goniometrica, si avranno tre possibilità: seno, coseno e tangente. L'unità di misura è il radiante, rad. Il valore numerico di questi elementi è compreso tra -1 e 1. A volte è necessario anche utilizzare la cotangente.
Cos'è la cotangente?
La cotangente, indicata con la dicitura cotanx, cotgx o cotx, è il rapporto tra l'ascissa e l'ordinata del punto A, oppure dato un triangolo rettangolo, la cotangente è definita come rapporto tra il cateto adiacente all'angolo acuto considerato e l'altro cateto.
Cos'è la tangente?
La tangente, indicata con la dicitura tanx o tgx, è il rapporto tra l'ordinata e l'ascissa del punto A, oppure dato un triangolo rettangolo, la tangente è definita come rapporto tra il cateto opposto all'angolo acuto considerato e l'altro cateto.
Cos'è il coseno?
Il coseno, indicato con la dicitura cosx, è l'ascissa del punto A, oppure dato un triangolo rettangolo, il coseno è definito come rapporto tra il cateto adiacente all'angolo e l'ipotenusa.
Cos'è il seno?
Il seno, indicato con la dicitura sinx o senx, è l'ordinata del punto A, oppure dato un triangolo rettangolo, il seno è definito come rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa.
Cosa sono gli angoli?
Viene definito angolo la figura composta dalle due semirette, detti lati dell'angolo, a e b, e da una delle due parti in cui il piano è diviso da a e b. Inoltre l'origine delle due semirette è definita come vertice.
Che tipo di angoli esistono?
Gli angoli possono essere: concavi o convessi, piatti, giri o nulli, acuti, retti o ottusi.
Che differenza c'è tra acuti, retti e ottusi?
La differenza tra angoli acuti, retti e ottusi è che i primi hanno un'ampiezza minore strettamente di 90°, i secondi hanno un'ampiezza di esattamente 90°, mentre gli ultimi hanno un'ampiezza maggiore strettamente di 90°.
Che differenza c'è tra piatti, giri e nulli?
La differenza tra angoli piatti, giri e nulli è che nei primi a e b sono semirette opposte, nei secondi a e b sono semirette coincidenti e non hanno al suo interno tutti i punti del piano, e negli ultimi a e b sono semirette coincidenti e non hanno al suo interno alcun punto del piano.
Esistono altri tipi di classificazione?
Gli angoli possono essere classificati anche in coppie: troviamo infatti quelli consecutivi, adiacenti, opposti al vertice e congruenti.
Quali sono gli angoli congruenti?
Sono quegli angoli che hanno la stessa ampiezza. Quando questi vengono sovrapposti, coincidono punto per punto.
Quali sono gli angoli opposti al vertice?
Sono quegli angoli che hanno i lati di uno come prolungamento dell'altro.
Quali sono gli angoli adiacenti?
Sono quegli angoli che sono consecutivi e i lati non comuni sono semirette opposte.
Quali sono gli angoli consecutivi?
Sono quegli angoli che hanno un lato e un vertice in comune.
Che differenza c'è tra concavi e convessi?
La differenza tra angoli concavi e convessi è che i primi non contengono i prolungamenti di a e b, mentre gli ultimi si.
In che modo si possono calcolare?
E' possibile calcolare la misura di un angolo grazie ai gradi e ai gradianti.
Cos'è il radiante?
Il radiante è la misura dell'arco che intercetta sulla circonferenza goniometrica, una volta che l'angolo sia posto in posizione normale. Il valore è compreso tra -1 e 1.
Cos'è il grado?
Il grado, indicato dal simbolo °, è definito come la trecentosessantesima parte dell'angolo giro. Il sistema di misura utilizzato quindi è di tipo sessagesimale, ovvero la divisione del grado in 60 parti uguali. Così abbiamo i gradi decimali, che vengono caratterizzati dall'utilizzo dei primi e dei secondi, e i gradi, che utilizzano soltanto °.
Cosa significa non degenere?
Non degenere, nel campo della geometria, più precisamente nelle coniche, significa che considerando un cono a due falde, il piano creante la figura geometrica derivante non passa per il vertice V.
Come si disegna una parabola?
Per disegnare una parabola, tracciamo una retta r, parallela alla direttrice d. Tracciamo la circonferenza γ, di centro F e raggio uguale alla distanza di r da d. I due punti, A e A' dove γ incontra r sono equidistanti da F e da d, quindi fanno parte della parabola che ha fuoco in F e direttrice in d. Tracciando un'altra retta s parallela ad r e a d, e ripetendo l'analogo procedimento, si possono costruire altri due punti della parabola B e B', e così via. Così facendo, si potranno congiungere questi punti con una linea continua per poter ottenere una curva che rappresenta con approssimazione la parabola.
Che cos'è il luogo geometrico?
Il luogo geometrico è l'insieme di tutti i punti del piano che soddisfano una certa condizione o godono di una certa proprietà. Tale condizione viene espressa matematicamente.
Che cos'è il vertice?
Il vertice V è il punto di intersezione tra la parabola e l'asse di simmetria
Cos'è l'asse di simmetria?
L'asse di simmetria è la retta che divide una figura piana in due parti uguali.
Che cos'è la direttrice?
La direttrice d è la retta che rispetto ad ogni punto della parabola è EQUIDISTANTE dal fuoco F.
Come si calcolano le seguenti variabili?
Il vertice può essere calcolata tramite la seguente formula.
La direttrice può essere calcolato tramite la seguente formula.
Il fuoco può essere calcolato tramite la seguente formula.
Che cos'è il fuoco?
Il fuoco F di una parabola, facente parte del piano, è il punto che rispetto ad ogni punto della parabola è EQUIDISTANTE dalla direttrice d.
Che cos'è la retta?
La retta r fa parte dei tre enti fondamentali della geometria euclidea. E' un luogo geometrico immateriale, che possiede la caratteristica di avere una sola dimensione, ovvero la lunghezza. E' inoltre descritta dal seguente tipo di equazione lineare: ax+by+c=0 con a,b,c ∈ ℝ
