by Дмитрий Николайчук 4 years ago
377
More like this
Натуральні числа — числа, що виникають природним чином при лічбі. Це числа: 1, 2, 3, 4, …
Існують два основних підходи до означення натуральних чисел:
• числа, що використовуються при лічбі предметів (перший, другий, третій…) — підхід, загальноприйнятий у більшості країн світу; формалізованим різновидом цього підходу є аксіоматичне описання системи натуральних чисел за допомогою аксіом Пеано.
• числа для позначення кількості предметів (відсутність предметів, один предмет, два предмети…) — підхід, прийнятий у роботах Ніколя Бурбакі, де натуральне число означається як потужність скінченних множин; при такому підході, як правило, 0 відносять до натуральних чисел.
Від'ємні та дробові числа не є натуральними числами.
Множина натуральних чисел є нескінченною: для будь-якого натурального числа знайдеться інше натуральне число, більше за нього.
Якщо будь-яке число помножити на одиницю, то одержимо саме число.
Якщо будь-яке число помножити на нуль, то одержимо нуль.
Натуральні числа множать порозрядно, починаючи з одиниць, а отримані добутки додають.
Зверніть увагу!
Якщо будь-яке число помножити на натуральне число а, відмінне від одиниці, то воно збільшиться в а разів.
Звучить так: від перестановки множників добуток не змінюється.
Виглядає так: d⋅a=a⋅d.
Сполучна: щоб добуток двох чисел помножити на деяке число, можна перший множник помножити на дане число і результат помножити на другий множник (d⋅a)⋅c =d⋅(a⋅c).
Розподільна для суми чисел: щоб помножити суму двох чисел на деяке число, треба кожний доданок помножити на це число й отримані добутки додати (а + b)с = ас + bс.
Розподільна для різниці чисел: щоб помножити різницю двох чисел на деяке число, треба зменшуване і від’ємник помножити на це число й отримані добутки відняти (а - b)с = ас - bс.
Спеціальні назви чисел існували спочатку тільки для одного і двох. І зараз в індійців слово два означає очі, а в тібетців — крила; в інших народів один — Місяць, п'ять — рука. Із плином часу виникла потреба в оперуванні все більшими числами. Люди зрозуміли, що назву кожному числу давати незручно. Поступово стали застосовувати спеціальні засоби для називання чисел. У зв'язку з тим, що на двох руках у людини 10 пальців, найзручнішою виявилася десяткова нумерація. У цій нумерації першим десяти числам 0, 1,2, З, ..., 9 дана спеціальна назва, а також окремим великим числам. А назви всіх інших чисел є комбінаціями назв цих основних чисел. Наприклад, 12 —- це два на десять, тридцять — це 3 десятки і т.д.
У стародавніх слов'ян назви чисел першого десятка вказують на анатомію руки, історію розвитку поняття про число, особливості життєвого укладу людей. Так, наприклад, число „три" походить від слова „тре", бо середній палець труть його сусіди, „чотири" — походить від слів „ще тре", бо четвертий палець теж затиснутий між третім і п'ятим. „П'ять" походить від „п'ясть", шість — „ще єсть" — людина відкрила, для лічби можна використовувати і пальці другої руки. „Сім" — „седм" — „сидим" — тобто у сьомий день сидимо, не працюємо і т.д.
Окремі великі числа теж дістали свої назви. Наприклад, число сорок походить від назви мішка з соболиними шкірками, якими платили данину. Сорок — це мішок, в який вміщається рівно чотири десятки шкірок. Десять тисяч у стародавній Русі називали „тьма".
Питання про обґрунтованість поняття натурального числа довгий час у науці не ставилося. Поняття натурального числа настільки звичне і просте, що не виникало потреби в його означенні в термінах будь-яких простіших понять. Лише в середині XIX століття, під впливом розвитку аксіоматичного методу в математиці з одного боку, і критичного перегляду основ математичного аналізу — з іншого, назріла необхідність обґрунтування поняття кількісного натурального числа.
Чітке означення поняття натурального числа на основі поняття множини було дано в 70-х роках XIX століття в роботах Георга Кантора. Спочатку він означує рівнопотужність множин. Потім число елементів однієї множини означається як те спільне, що має дана множина і будь-яка інша, рівнопотужна їй, незалежно від якісних особливостей елементів цих множин. Таке означення відображає суть натурального числа як результату лічби предметів.
Процес формування поняття натурального числа тривав протягом усієї історії людства. На найнижчому етапі первісного суспільства поняття абстрактного числа не існувало. У свідомості первісної людини ще не сформувалося те спільне, що об'єднує наприклад, «три людини» та «три озера». Аналіз мов первісних народностей показує, що для лічби предметів різного типу використовувалися різні словесні обороти. Слово «три» в контекстах «три людини», «три човни» передавалося по-різному. Такі іменованічислові ряди були дуже короткими і завершувалися неіндивідуалізованим поняттями «багато», які також були іменованими, тобто висловлювалися різними словами для різних типів об'єктів, такими, як «натовп», «стадо», «купа» тощо.
Джерелом виникнення поняття абстрактного числа була лічба предметів, що базувалася на зіставленні предметам даної сукупності предметів певної сукупності, що мала роль еталону. У більшості народів першим таким еталоном були пальці («лічба на пальцях»), що безпосередньо підтверджуєтьсямовознавчим аналізом назв перших чисел. На цьому етапі число стає абстрактним, незалежним від якості об'єктів лічби, але разом з тим пов'язаним з природою сукупності-еталону. Розширення потреб лічби спонукало людей користуватися з інших еталонів лічби, наприклад, зарубок на паличці. Для фіксації порівняно великих чисел стала використовуватися нова ідея: позначення деякого певного числа (у більшості народів — десяти) новим знаком, наприклад, зарубкою на іншій паличці.
а : а = 1;
а : 1 = а;
0 : а = 0.
Жодне число не можна ділити на нуль. Адже поділити 6 на 0 означає знайти таке число х, при якому 0 × х = 6. А при будь-якому значенні х добуток 0 × х дорівнює нулю, а не 6. Таким чином, ділити 6 на 0 не можна. Не можна ділити і 0 на 0. Яке б ми число не взяли, ця рівність буде правильною. Тому не можна знайти певного значення х. Ділення на нуль (0) неможливе. Нуль не може бути дільником.
1)Щоб поділити суму на яке-небудь число, досить поділити на це число кожний доданок окремо і знайдені частки додати.
Ця властивість справедлива для будь-яких чисел. За допомогою букв її можна записати так:
(a+b):c=a:c+b:c
НАПРИКЛАД:
(8 + 12) : 4 =8 : 4 + 12 : 4= 2 + 3 + 5.
2)Щоб поділити різницю на яке-небудь число, досить окремо поділити на це число зменшуване і від’ємник, а потім від першої частки відняти другу. За допомогою букв цю властивість можна записати так:
(a-b):c=a:c-b:c
НАПРИКЛАД:
(18 – 6) : 3 =18 : 3 – 6 : 3= 6 – 2 = 4.
3)a:1=a.
4)0:a=0
a не дорівнює 0.
5)а:а=1
а не дорівнює 0.
Якщо від деякого числа відняти нуль, то одержимо те ж саме число.
Якщо від деякого числа відняти рівне йому число, то одержимо нуль.
Щоб від деякого числа відняти суму двох чисел, можна від нього відняти перший із доданків, а від результату відняти другий із доданків.
Щоб від суми двох чисел відняти деяке число, можна від одного з доданків відняти це число, а до результату додати другий із доданків.
Якщо зменшуване збільшити на кілька одиниць, то різниця збільшиться на стільки ж одиниць.
Якщо зменшуване зменшити на кілька одиниць, то різниця зменшиться на стільки ж одиниць.
Якщо від’ємник зменшити на кілька одиниць, то різниця збільшиться на стільки ж одиниць.
Якщо від’ємник збільшити на кілька одиниць, то різниця зменшиться на стільки ж одиниць.
Щоб від суми двох чисел відняти деяке число, можна від одного з доданків відняти це число, а до результату додати другий із доданків.
Щоб від деякого числа відняти суму двох чисел, можна від нього відняти перший із доданків, а від результату відняти другий із доданків.
Як відомо, додавати можна будь-які числа. Позначивши, наприклад, два числа, які додаємо, буквами а і b, а число, яке одержимо в результаті, буквою с, матимемо рівність: а + b = с.
Числа а і b називаються доданками, а число с, а також вираз а + b – сумою чисел а і b.
Давайте щоб краще зрозуміти розглянемо такий приклад-
Учні 5-А, 5-Б і 5-В класів вирішили подарувати шкільній бібліотеці дитячі книжечки. У понеділок учні 5-А класу принесли 98 книг. Одночасно з ними до бібліотеки прийшли учні 5-Б класу, які принесли 76 книг. На наступний день учні 5-В класу подарували бібліотеці 87 книг. Щоб порахувати всі книги, можна спочатку знайти кількість книг, принесених до бібліотеки в понеділок, а потім до цієї кількості додати кількість книг, принесених у вівторок, тобто всього книг (98 + 76) + 87. А якби, наприклад, у понеділок в бібліотеку принесли книги учні 5-А класу, а у вівторок – учні 5-Б і 5-В класів, то для підрахунку загаль-ної кількості книг ми б до 98 книг, принесених у понеділок, додали б (76 + 87) книг, принесених у вівторок. Всього книг 98 + (76 + 87).
Взагалі, при будь-яких значеннях а, b, с правильна рівність:
(а + b) + с = а + (b + с).
Цю властивість додавання називають сполучною властивістю додавання. Її читають так: "Щоб до суми двох чисел додати третє число, можна до першого числа додати суму другого і третього".
Для кращого розуміння розглянемо приклад-
Від Хмельницького до Тернополя по залізниці 119 км, а від Тернополя до Львова – 141 км. Отже, відстань від Хмельницького до Львова дорівнює (119 + 141) кілометрів. А якщо ми поїдемо зі Львова до Хмельницького тим же шляхом, то спочатку проїдемо 141 км до Тернополя, потім ще 119 км від Тернополя до Хмельницького, тобто всього (141 + 119) кілометрів. Але відстань від Хмельницького до Львова така ж, як від Львова до Хмельницького, тому 119 + 141 = 141 + 119.
Взагалі, при будь-яких значеннях а і b правильна рівність:
а + b = b + а.
Цю властивість називають переставною властивістю додавання. Її читають так: *Від перестановки доданків значення суми не змінюється*.
Існує багато різнич чисел та саме числа 13, 7 і 0 найцікавіші.
13- найгірше число на думку більшості людей.
7- найщасливіше число.
0- це число має цікаву історію виникнення навідміну від усіх інших чисел.
В основі науки, техніки і математики лежить ніщо. Звичайно, це - ніщо, виражене числом нуль.
Це зухвале і водночас потужне число завжди викликало більше суперечок і захвату, ніж будь-який інший математичний знак. Почати хоча б з того, що воно дозволяє нам прогнозувати майбутнє.Концепція нуля існувала з давніх часів. Згадки про неї з'являються час від часу у вавилонських трактатах і написах майя, де нуль використовували для розрахунків календаря.Стародавні вчені використовували нуль для позначення відсутності числа, як ми це робимо в числах 101 чи 102, щоб показати, що в середній позиції немає величини, кратної 10. Вавилоняни позначали це поняття двома маленькими дротиками.
Історія нуля - від небуття до величі
Проте, минуло майже два тисячоліття, перш ніж нуль у всьому його математичному блиску визнали повноцінними числом. І сталося це в Індії.
За словами математика Алекса Беллоса, Індія була ідеальним місцем створення нуля. "Ідея, що ніщо може бути чимось, глибоко вкоренилася в індійську культуру. Якщо існує поняття "нірвани" - стану небуття, в якому всі ваші турботи і бажання зникли, чому б не створити спеціальний символ для позначення відсутності всього?"
Цей символ назвали словом "шунья", яке використовують й досі для позначення як поняття відсутності, так і самого числа нуль.
Число 7 вважається найщасливішим числом.
У Європі є повір’я, згідно з яким сьомий син 7-го сина володіє магічною силою. Також число 7 найчастіше є улюбленим числом людей у повсьому світі.
У Китаї число 7 вважається таким, що приносить удачу, так як воно співзвучне китайським словам “сходити” і “життя”. Також воно є символом єднання і тому вважається хорошим знаком у відносинах. Так як число 6 традиційно представляє людство, число 7 вважається центром людства і його зв’язком з творцем.
Число 7 – це також число Всесвіту і поєднує в собі небеса, символом яких є число 3 і землю, що асоціюється з числом 4. Це число неодноразово з’являється протягом всієї історії і в різних культурах. Наприклад, було 7 стародавніх чудес світу, 7 днів тижня, 7 кіл Всесвіту, 7 смертних гріхів, 7 основних музичних нот.
У буддизмі 7 – це число сходження, оскільки вважалося, що Будда пройшов 7 кроків після народження.
В іудейській традиції 7 представляє число розуму, а в єврейському році 7 великих свят.
З усіх чисел від 1 до 10, число 7 є арифметично особливим. Це єдине число, яке не можна помножити або розділити на інше число в цій групі. Так наприклад 1, 2, 3, 4 і 5 можна подвоїти, і вони будуть перебувати в межах групи від 1 до 10. Числа 6, 8 і 10 діляться на 2, а число 9 ділиться на 3.
1. У деяких країнах, наприклад в США, настільки забобонні, що в будівлі не нумерують 13 поверх (в т.ч. і в ліфтах). Замість цього пишуть 12а, або після 12 відразу йде 14, але іноді пишуть букву M, так як вона тринадцята в алфавіті.
2. Боязнь числа 13 називається трискайдекафобія (нею, наприклад, страждав Наполеон), а боязнь п`ятниці 13 називається параскаведекатріафобія.
3. Фідель Кастро і Бутч Кесседі народилися в п`ятницю 13. "Мне было видение - беда приближается! После 29 ноября начнется..."
4. Космічний апарат Apollo 13 був запущений о 13:13 за місцевим часом. Запущено корабель був 11 квітня 1970 року народження, а вибух на кораблі стався через 2 дня, знову ж 13 числа. Причому це єдиний з усіх «Апполонов», які потрапили в аварію.
5. В Формула-1 немає машин з номером 13.
6. Єврейський хлопчик проходить Бар-Міцва (посвята хлопчика в чоловіка) по досягненню 13 років.
7. У багатьох старих мобільних телефонах (Nokia 3310 і не тільки) відсутній також 13 пункт меню. Після 12 відразу йде 14.
8. У індіанців Майа число 13 є добрим і сприятливим.
9. Президент США Франклін Рузвельт ніколи не їздив куди-небудь 13 числа.
10. На Таємній Вечері тринадцятим гостем був Іуда, який зрадив Христа. 11. Коли цар Древньої Македонії Філіп приєднав свою статую до статуї 12 богів, його вбили прямо в театрі.
12. На «Нашому Радіо» (101.7 FM) щотижня йде Хіт-парад, який називається «Чартова дюжина» (там якраз 13 місць).
