Trasformações de funções
Reflexões do gráfico de uma função
reta em que a função original é refletida para o outro lado com igual distância
Quando se quer refletir o gráfico em relação ao eixo y, o gráfico y=f(x) torna-se y=f(-x), conforme o exemplo:
f(x)=e^{x} + x-2
reflete-se da forma
f(x)=e^{(-x)} +(-x)-2=e^{-x} - x-2 .
Graficamente apresentam-se da seguinte forma, na qual f(x) é o gráfico original e g(x)
1ºgráfico
2ºgrafico
Quando se quer refletir o gráfico de uma função em relação eixo x, ou seja, a função refletida estará do outro lado do eixo x, o gráfico y=f(x) torna-se y=-f(x), conforme o exemplo:
f(x)=e^{x} + x-2
reflete-se da forma
f(x)=-(e^{x} + x-2)=-e^{x} - x+2 .
Graficamente apresentam-se da seguinte forma, na qual f(x) é o gráfico original e g(x)
são gráficos refletidos de uma função entorno de um eixo de reflexão
Função par e função ímpar
3grafico aqui
Por exemplo: a função A→ B, com A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-10,-5,0,5,10} definida pela fórmula f(x) = 5x
Será uma função ímpar a relação onde os elementos simétricos do conjunto do domínio terão imagens simétricas no conjunto de chegada. Ou seja, uma função será ímpar se
f(-x) = -f(x).
Função par
4grafico aqui
Por exemplo: a função A→B, com A = {-2,-1,0,1,2} e B = {1,2,5} definida pela fórmula f(x) = x2 + 1
Será uma função par a relação onde o elemento simétrico do conjunto do domínio tiver a mesma imagem no conjunto de chegada. Ou seja, uma função será par se f(x) = f(-x)
Dilatação e contração do gráfico de uma função
horizontal
o gráfico da função g , sendo g(x)=(cx) , obtém-se do gráfico da função f por uma dilatação ou contração na horizontal segundo o coeficiente 1/c. Assim ,o gráfico de y=f(cx) é a imagem do gráfico de y=f(x)
contração horizontal de coeficiente 1/c , se c>1
8gráfico aqui
dilatação horizontal de coeficiente 1/c , 0>c>1
O gráfico da função g , sendo g(x)=cf(x) , obtém-se do gráfico da função f por uma dilatação ou contração vertical, segundo o coeficiente c.
Assim , o gráfico de y=cf(x) é a imagem do gráfico de y=f(x)
por uma dilatação vertical de coeficiente c, c<1
7grafico aqui
por uma dilatação vertical de coeficiente c, c>1
vertical
Translação do gráfico de uma função
Translação Horizontal
A translação horizontal ocorre paralelamente ao eixo x.
Podemos entender a translação horizontal de uma função tomando a função f(x)=2x−1 como exemplo.
Quando traçamos o gráfico dessa função, obtemos uma reta.
6ºgrafico
aplicar as transformações (i) f(x+2) e (ii) f(x−2). Então, usando a função original f(x)=2x−1 e simplificando as transformações, temos:
(i)f(x+2)=2(x+2)−1 e (ii) f(x−2)=2(x−2)−1 f(x+2)=2x+3 e (ii) f(x−2)=2x−5
e assim o gráfico fica:
O caso (i), a transformação f(x+2) produziu uma translação de 2 unidades para a esquerda. Ou seja, -2 unidades paralelas ao eixo x.
No caso (ii), a transformação f(x−2) produziu uma translação de 2 unidades para a direita. Ou seja, 2 unidades paralelas ao eixo x.
Translação Vertical
A translação vertical ocorre paralelamente ao eixo y.
Para entender a translação vertical de uma função, podemos considerar a função f(x)=x2( x ao quadrado) como exemplo. Se fizermos o gráfico dessa função, obteremos uma serta curva.
5ºGrafico
Se agora somarmos e subtrairmos 1 unidade da função original, teremos as funções: (i) f(x)+1 e (ii)f(x)−1
simplificando temos: Simplificando, temos:
f(x)+1=x2+1 e (ii) f(x)−1=x2−1
num grafico isto fica:
Podemos ver que, no caso (i), o gráfico de f foi movido 1 unidade para cima. Ou seja, 1 unidade paralela ao eixo y.
Por outro lado, o gráfico da função (ii) é igual ao gráfico de f movido 1 unidade para baixo. Ou seja, -1 unidade paralela ao eixo y.
