Conceptualización de vectores, matrices y determinantes

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EXPRESION ALGEBRAICA DE UN VECTOR : Es un conjunto de elementos ordenados en renglón o columna. Un vector v en el plano xy es un par ordenado de números reales (a,b). Los números a y b se conocen como las componentes del vector v. El vector cero es (0,0).

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Conceptualización de vectores, matrices y determinantes

Matriz

Una matriz A de m × n es un arreglo rectangular de mn números dispuestos en m renglones y n columnas.

Operaciones con Matrices

Multiplicación

Podemos multiplicar las matrices si el número de las filas de la matriz Z es igual al número de columnas de la matriz Y. Es decir, Zn = Ym.

consiste en combinar linealmente dos o más matrices mediante la adición de sus elementos dependiendo de su situación dentro de la matriz origen respetando el orden de los factores.

Restar los elementos que tienen la misma posición dentro de sus respectivas matrices.

si necesitamos que las matrices tengan el mismo orden para que las podamos restar, es equivalente decir que necesitamos que las matrices sean cuadradas.

Comprobar el orden de las matrices, tal que:

Si el orden de las matrices es distinto, entonces no se pueden restar las matrices.

Si el orden de las matrices es el mismo, entonces sí se pueden restar las matrices.

Resta

Operación lineal que consiste en sustraer los elementos de dos o más matrices que coincidan en posición dentro de sus respectivas matrices y que estas tengan el mismo orden.

Suma

Procedimiento

Sumar los elementos que tienen la misma posición dentro de sus respectivas matrices.

Es decir que:

El sumatorio de matrices comparte las mismas características que cuando sumamos números y variables en álgebra, con la diferencia de que aquí tenemos “coordenadas”.

Comprobar el orden de las matrices tal que:

Si el orden de las matrices es distinto, entonces no podemos sumar las matrices.

Si el orden de las matrices es el mismo, entonces se pueden sumar las matrices.

Operación lineal que consiste en unificar los elementos de dos o más matrices que coincidan en posición dentro de sus respectivas matrices y que estas tengan el mismo orden.

Tipos de Matrices

Columna

Fila

Cero

Cuadrada

Matriz Inversa

Metodos

Inversa por determinantes

Método de Gauss

Es la multiplicación del inverso del determinante por la matriz adjunta traspuesta.

Propiedades de los Determinantes

Cuando a una fila (o columna) de una matriz se le suma o resta una combinación lineal de otras filas (o columnas), el valor de su determinante no se altera.

El determinante de una matriz triangular o una matriz diagonal es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

Al multiplicar todos los elementos de una fila o una columna de una matriz por un número, el determinante de la matriz resultante es igual al de la original multiplicado por ese mismo número.

Al intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz, su determinante cambia de signo.

Cuando dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales entre sí (una se puede obtener multiplicando la otra por un factor), su determinante es cero.

El determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es nulo.

Una matriz cuadrada con una fila o una columna en la que todos los elementos son nulos tiene un determinante igual a cero.

Vector

Definición

Es el conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido dado.

Propiedades de los Vectores

Tipo de Vectores

Producto Cruz

No se puede para todo, para que se pueda sacar el producto cruz a los vectores debe de ser para aquellos vectores en tercera dimensión (3D).

Producto Punto

Es la suma de las mediciones multiplicadas por sus respectivas de los vectores.

Vectores Canonicos

Son los que tienen un modulo igualdad a la unidad y que son paralelos a un eje de coordenada en particular. Los siguientes son vectores canónicos:

V(1,0,0)

V(0,1,0)

V(0,0,1)

Para que un vector exista, debe contar con las siguientes propiedades.

Sentido

Se le asigna una punta de flecha e indica hacía donde se dirige, donde puede ser hacía arriba, abajo, derecha, e izquierda.

Dirección

Los vectores poseen una dirección, y pueden representarse mediante un plano cartesiano rectangular, entre cuatro cuadrantes y con la división de 90° cada uno, el lado positivo comienza a partir del eje “x”.

Magnitud

Indica el valor numérico del vector a través de una unidad de medida.

Vector Unitario

Es

Un vector con longitud 1

Ejemplo

El vector u = (1/2)i + (√3/2)j es un vector unitario

Ya que:

|u| = √(1/2)^2 + (√3/2)^2 = √1/4 + 3/4 = 1

Angulos Directores

Se llaman ángulos directores de un vector, respecto de un sistema de coordenadas ortogonales con origen O y ejes x, y a los ángulos que el vector forma con el semiejes positivos coordenados. Los ángulos se toman entre 0 y π.

Norma

|v|=magnitud de v=√(a^2+b^2 )

Es la longitud de cualquiera de sus representaciones y su dirección como la dirección de cualquiera de sus representaciones.

Expresión algebraica de un Vector

Es un par ordenado de números reales (a, b). Los números a y b se denominan elementos o componentes del vector v. El vector cero es el vector (0, 0).Puesto que en realidad un vector es un conjunto de segmentos de recta equivalentes.