Математический Анализ

Plus de détails

elearning

par Анатолий Орешко

Инновационные модели обучения в ИОС

par Татьяна Орлова

Классификация предприятий сферы услуг

par Ольга Литвинцева

Интеллектуальная нейронная сеть

par Владимир Потягайло

Data Science(Наука о данных)

Искусственный интеллект

Машинное обучение

Мы часто видим таргетированную рекламу в социальных сетях на основе наших подписок, истории браузера.

Обученный алгоритм может предсказывать поведение клиентов: определять, кто в ближайшее время совершит покупку; понимать, кто какие товары предпочитает, чтобы их рекомендовать; предлагать персонализированные скидки, чтобы стимулировать покупки.

Создание системы управления производством. С помощью датчиков и машинного обучения можно не только выполнять узкие задачи, например предотвращать поломки, но и управлять всем производством

Минимизация простоев на производстве

Метод обратного распространения ошибок

Функция активации

Глубокое обучение

Интернет переводчики

Алгоритмы распознования речи

BIG DATA

С помощью алгоритмов анализа Big Data можно решать задачи по использованию архивных данных и статистики для построения прогнозов на будущее

Компьютерное зрение

МРТ, ЭКГ и другие снимки помогают врачам ставить правильные диагнозы. Но точно таким же навыкам можно обучить машину. Например, Компания Arterys разработала программную платформу на базе системы компьютерного зрения, которая успешно визуализирует и анализирует медицинские изображения в диагностике сердечно-сосудистых заболеваний.

В обозримом будущем дроны смогут распознавать людей. Например, это поможет искать человека, который заблудился в лесу, и т.д

Технологии беспилотных автомобилей

Сейчас активно развивается технологии распознавания лиц(Например,Face id).

Математический Анализ

Множества

Операции

B∖A

A∪B

A∩B

A⊂B

Числовые множества

Инфинум множества

наибольшая из всех нижних граней.

Супремум множества

наименьшая из всех верхних граней.

Множество, элементами которого являются вещественные числа, называется числовым множеством. Числовые множества принято обозначать {x}, где под х будут пониматься вещественные числа.

Это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое.

Интегралы

Методы интегрирования

Метод неопределённых коэффициентов

Метод разложения дробно-рациональных функций на простейшие

Метод интегрирования по частям

Метод замены переменных

Метод разложения

Несобственные интегралы

Род несобственного интеграла

2 род

Если предел lim(ŋ->+0) ᵇ-ⁿₐ∫ f(x)dx равен бесконечности или вообще не существует, то говорят, что интеграл расходится (не существует).

Если предел lim(ŋ->+0) ᵇ-ⁿₐ∫ f(x)dx существует и конечен, то говорят, что интеграл сходится (существует)

Cнимается условие ограниченности подынтегральной функции. Будем называть с особой точкой функции f(x), если lim(x -> c) |f(x)| = +∞

1 род

Сходимость и расходимость

Расходимость

Если предел lim(A->+∞) ᴬₐ∫ f(x)dx равен бесконечности или не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится (не существует).

Сходимость

Если предел lim(A->+∞) ᴬₐ∫ f(x)dx существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится (существует)

Функция f(x) непрерывна на [a, +∞)

Интегралы с бесконечными пределами интегрирования или от разрывных функций

Определённые интегралы

Если a < h, то |ʰₐ∫ f(x)dx| ⩽ ʰₐ∫ |f(x)|dx

ʰₐ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ʰₐ∫ f(x)dx ± ʰₐ∫ g(x)dx

ʰₐ∫ kf(x)dx = k ʰₐ∫ f(x)dx

Если a < c < h, то ʰₐ∫ f(x)dx = ᵉₐ∫ f(x)dx = ʰₑ ∫ f(x)dx

ʰₐ∫ f(x)dx = - ᵃₕ∫ f(x)dx

Число, равное пределу интегральных сумм

Неопределённые интегралы

Свойства

∫dF(x) = F(x) + C

d( ∫ f(x)dx ) = f(x)dx

∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx

∫ c * f(x)dx = c * ∫ f(x)dx

Совокупность всех первообразных функции f (x)

Главная тема

Числовые ряды

Также к применению числовых рядов можно отнести представление различных тригонометрических и других функций в памяти компьютеров.

Программные расчёты поведения физических объектов

Работа с различными графическими объектами

Эталонные ряды (также необходимая теория)

Обобщённый гармонический ряд

Гармонический ряд

Геометрический ряд

Сходимость / расходимость рядов

Признаки сходимости / расходимости (помогает определять целесообразность вычисления при помощи электронно-вычислительных устройств)

Если есть два ряда A и B с положительными членами такие, что для всех n, An <= Bn, то в этом случае: если расходится ряд А, то расходится ряд В; если сходится ряд В, то сходится и ряд А

Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы существовало такое L < +inf, что для всех n, An <= L

Признак Даламбера

Признак сходимости (радикальный) Коши

Интегральный признак Коши

Простейшие свойства сходящихся рядов (набор свойств, без которых дальнейшее освоение темы невозможно)

5. Если ряды (1) и (2) сходятся, то ряд, образованный попарными суммами (разностями), также будет сходиться и будет верно соотношение: сумма нового ряда будет равна сумме рядов (1) и (2)

4. Если ряд сходится, то ряд, все члены которого умножены на константу (отличную от 0) также сходится. И сумма полученного ряда равна сумме изначального ряда, умноженного на константу.

3. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю

Следствие (признак расходимости ряда): Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

2. Если ряд Ak сходится, то lim(an) = 0 при n->inf

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.

Основные определения (по большей части - теоретические сведения, необходимые для работы с этой темой)

Остаток ряда после n-ого слагаемого

Общий член

Частные суммы

Применение в других отраслях

Экономика

Эконометрика

Расчеты в целях планирования потребности ресурсов, либо разработки плана или проекта

Моделирование хозяйственных процессов или явлений

Физика

Развитие квантовой механики привело к появлению нового раздела в криптографии- Квантовой

Алгоритмы квантового шифрования

Ни одна научная статья(по теор. физике) не обходится без компьютерного моделирования физических процессов

Математическое программирование

Списки, Массивы и матрицы в программировании

Медицина

Теория Вероятностей

Математическая Статистика

Дисперсионный анализ

Проверка статистических гипотез

Мат. Статистика помогает определять участки , в которых могли быть фальсификации и оценить примерное количество голосов, которые были вброшены.

Функции

Метод Ньютона

Определение - корень уравнения f(x) = 0 считается отделенным на отрезке[a,b], если на этом отрезке f(x) = 0 не имеет других корней. Отделить корни - значит разбить всю область определения на отрезки, в каждом из которых содержится один корень

Свойства функции

Выпуклость

Выпукла вверх ( вогнута )

Производная четной степени меньше нуля

Выпукла вниз ( выпукла )

Производная четной степени больше нуля

Непрерывность функции

Разрывы

Виды разрывов

Разрыв 2-го рода - разрыв, при котором хотя бы один из пределов бесконечный.

Разрыв 1-го рода - разрыв, при котором у функции существуют как конечный левый предел, так и конечный правый предел, но левый и правый пределы различны. Также именуется скачком.

Устранимый разрыв - разрыв, при котором левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу, но в функция не определена в точке.

Монотонность

Экстремумы

Достаточное условие

Если F`^(2n) ( x ) > 0, то в точке x - локальный минимум, если F`^(2n)( x ) < 0, то в точке x - локальный максимум.

Необходимое условие

F`(x) = 0

Пределы

Замечательные пределы

Бином Ньютона

Типы неопределенности

Степенные

{ 1^0 } { 0^0 } { inf^0 }

Нестепенные

{ 0 / 0 } { inf / inf } { 0 * inf } { inf - inf }

Односторонние пределы

бесконечно большие

Бесконечно малые

Пределы функции

Полярные координаты

Программное обеспечение для станков с ЧПУ

Площадь криволинейного сектора

P = (1/2)*ʰₐ∫r^2(θ)dθ

Связь с декартовыми координатами

y = p*sinφ

x = p*cosφ

Производные

Первообразная

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если F`(x) = f(x).

Производные от функций, заданных параметрически

Параметрическое задание функции считается самым общим способом задания кривых на плоскости

Производные от неявных функций

Частные производные

Смешанные производные

При вычислении частной производной по какой-либо переменной все остальные переменные выступают как константы

Правило Лопиталя

Раскрытие неопределённостей типа inf/inf

Раскрытие неопределённостей типа 0/0

Аппроксимация

Формула Тейлора - https://clck.ru/GpeEw

Частный случай формулы Тейлора - ряд Маклорена

Дифференциал

Полный дифференциал

Дифференциалы высших порядков (дифференциалом n порядка называется дифференциал от дифференциала (n-1) порядка)

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции - Если функция дифференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке.

Теорема о дифференцируемости функций - Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.

Производные высших порядков

Производная n порядка определяется как производная от производной (n-1) порядка

Формула Коши - https://clck.ru/SpMFc

Формула Лагранжа (теорема о среднем значении)

Особые случаи производных

Несуществование производных

# Функция Дирихле

Бесконечные производные

F`( x ) = 0; # (sqrt( x ))` в точке 0

Односторонние производные

F`( x + 0 )

F`( x - 0 )

Алгебра производных

Формулы

6.[f^(-1)(x)]` = 1/(f`(f^(-1)(x)))

5.[f(g(x))]` = f`(g(x)) * g`(x)

4.[f(x)/g(x)]` = (f`(x)g(x) - f(x)g`(x)) / g^2(x)

3.[f(x) * g(x)]` = f`(x)g(x) + f(x)g`(x)

2.[f(x) ± g(x)]` = f`(x) ± g`(x)

1.[cf`(x)] = cf`(x)