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FIGURAS CÓNICAS BÁSICAS

PARÁBOLA

Dados un punto F (foco) y una recta r (directriz), se denomina parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz. El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de simetría de la parábola PARTE DE LA PARÁBOLA: 1- Foco Es un punto ubicado en el eje, cualquier punto de la parábola está a la misma distancia del foco y de la directriz. 2- Eje Es el eje simétrico de la parábola, el punto donde el eje corta a la parábola se llama vértice. 3- Directriz La directriz es una línea perpendicular al eje que se opone a la parábola. De situarse en cualquier punto de la parábola para trazar una línea hasta el foco, la longitud de esta será igual a una línea trazada hasta la directriz. 4- Parámetro Es una línea perpendicular a la directriz y paralela al eje que forma un vector entre el foco y la directriz. 5- Vértice Corresponde al punto de intersección donde se cruzan el eje y la parábola. El vértice de una parábola se encuentra en el punto medio entre el foco y la directriz. 6- Distancia focal Es la distancia entre el foco y el vértice. Es equivalente al valor del parámetro dividido entre 2. 7- Cuerda Una cuerda es cualquier línea recta que une 2 puntos de una parábola. 8- Cuerda focal Es una cuerda que une 2 puntos de una parábola pasando por el foco. 9- Lado recto El lado recto es una cuerda focal paralela a la directriz y perpendicular al eje. Su valor equivale al doble del parámetro. 10- Puntos Al trazar una parábola se forman visualmente 2 espacios bastante diferenciales a ambos lados de la curva. Estos 2 lados conforman los puntos interiores y exteriores de la parábola

FÓRMULAS Y GRÁFICA:

ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado PARTES DE UNA ELIPSE: La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí: Centro: Es el punto de intersección de los ejes. Es, además, centro de simetría. Eje principal o focal: Es el eje en el que se encuentran los focos. Es un eje de simetría. Eje secundario: Es el eje perpendicular al eje principal, mediatríz del segmento que une los focos. Vértices: Puntos de intersección de la elipse con los ejes. Distancia focal: Distancia entre los focos. Su longitud es 2·c. Semidistancia focal: Distancia entre el centro y cada foco. Su longitud es c. Semieje mayor o principal: Segmento entre el centro y los vértices del eje principal. Su longitud es a. Semieje menor o secundario: Segmento entre el centro y los vértices del eje secundario. Su longitud es b y cumple b=a2-c2 Radio vectores: Cada punto de la elipse cuenta con dos radio vectores que son los segmentos que unen dicho punto a cada uno de los focos. Para un punto P(x , y) se cumple que d(P , F) = a -e·x y d(P, F') = a+e·x

Fórmulas

HIPÉRBOLA

Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, cuya diferencia de distancias (en valor absoluto) a dos puntos fijos llamados focos, es constante e igual a 2a (siendo 2a la longitud del eje real de la hipérbola). ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA: Focos: Son los puntos fijos F y F’ Radio vectores: Son los segmentos PF’ y PF Centro de la hipérbola: Punto O donde se cortan los ejes Vértices: Son los puntos A, A’, B y B’. A y A’ A y A’ son los puntos de corte del eje real con la hipérbola. Sus coordenadas son (a,0) y (-a,0) respectivamente. B y B’ son los puntos de corte del eje secundario con la circunferencia de centro en el punto A y radio «c». Sus coordenadas son (b,0 ) y (-b,0) respectivamente. Eje real: Es el segmento AA’, cuya longitud es 2a Eje imaginario: Es el segmento BB’, cuya longitud es 2b Distancia focal: Es el segmento FF’, cuya longitud es 2c Semieje real: Es la longitud «a» Semieje imaginario: Es la longitud «b» Semidistancia focal: Es la longitud «c» Eje focal: Es la recta que pasa por los focos y por el eje real Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF’

FÓRMULAS Y GRÁFICA :

ALGUNAS FÓRMULAS GENERALES:

ORIGEN

El matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) fue el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas. Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos: elipses, hipérbolas y parábolas. Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y

CIRCUNFERENCIA

La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto, llamado centro. PARTES: Dimensión de la circunferencia: al ser una línea, la circunferencia tiene una sola dimensión, la longitud. Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia. Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma. Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio. Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene. Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia RECTAS: Recta exterior: cuando no tiene ningún punto común con la circunferencia. Recta tangente: a la circunferencia cuando tiene un punto común. Recta secante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes FÓRMULA O EXPRESIÓN:

GRÑAFICA: