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En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de primer grado y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de segundo grado

Además, Descartes y Fermat observaron, y esto es crucial, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas

LEIBINIZ Nació exactamente 50 años después de Descartes: él nació en 1646 y murió el 1716. Nació en Leipzig y murió en Hannover. Es una figura particularmente compleja y sumamente interesante. Fue matemático uno de los grandes matemáticos de la historia su gran descubrimiento es el Cálculo Infinitesimal, que llamó Calcul de l'infinement petit. Es un descubrimiento que se hizo paralelamente a lo de Newton; Newton llamó a su descubrimiento Método de las Fluxiones. Ha habido una disputa sobre la prioridad del descubrimiento, parece que no hubo prioridad por parte de ninguno: fue un descubrimiento simultáneo en formas distintas y además las notaciones eran diferentes: la de Leibniz es la que ha prevalecido -aproximadamente es la que se conserva, a lo largo de la historia en el Cálculo Infinitesimal.

SIR ISAAC NEWTON Nació el 4 de enero de 1642 en Lincolnshire, Inglaterra y Falleció en 1727. Fue hijo prematuro, su madre le tenía previsto un futuro como granjero, pero sus padres se sorprendieron por su talento por lo cual lo enviaron a la universidad de Cambridge y trabajo para pagarse sus estudios. En esa universidad fue donde obtuvo conocimientos y principios científicos de mediados del siglo XVII con las innovaciones de Galileo y Descartes. Se le considera el protagonista principal de la revolución científica del siglo XVII y el padre de la mecánica moderna, así como también fue descubridor del cálculo integral junto con Leibniz y formulo el teorema del binomio.

PIERRE DE FERMAT Nacido el 17 de agosto de 1601 en Francia y fallecido el 12 de Enero de 1665 fue un jurista y matemático apodado “El príncipe de los aficionados”. Fermat fue junto con René Descartes uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. Descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal y Descartes y descubrió el principio fundamental de la geometría analítica, pero sin embargo es más reconocido por sus aportaciones a la teoría de números y es uno de los pocos matemáticos que cuentan con un asteroide que tiene su nombre.ñ

RENE DESCARTES Fue un filósofo, matemático y físico francés que nació el 31 de marzo de 1596 la Haye Francia y falleció el 11 de febrero de 1650 en Suecia. Es considerado el padre de la filosofía actual y creo una revolución científica. Era conocido también como Cartesius (en latín), formulo el famoso principio “pienso luego existo” la cual fue la base del racionalismo occidental. La mayoría de las obras que escribió estaban en latín, idioma utilizado frecuentemente en la antigüedad, ya que era la lengua internacional del conocimiento. En la Física está considerado como el creador del mecanismo y en matemáticas es el creador de la geometría analítica, dando a conocer su libro llamada Le Géométrie en 1637, traducido al español como la geometría, ( su modelo fue el método matemático (la demostración) ya que quería cambiar el modelo aristotélico que se había estado utilizando durante toda la edad media.

Padres de la geometría analítical

Lo novedoso de la Geometría Analítica (como también se conoce a este método) es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1 ). Esto convertía toda la Geometría griega en el estudio de las relaciones que existen entre polinomios de grados 1 y 2. El Desde un punto de vista formal (aunque ellos aun lo sabían), los geómetras de esta época han encontrado una relación fundamental entre la estructura lógica que usaban los geómetras griegos (el plano, la regla, el compás...) y la estructura algebraica del ideal formado por los polinomios de grados 0, 1 y 2 del anillo de polinomios , resultando que ambas estructuras son equivalentes. Este hecho fundamental (no visto con nitidez hasta el desarrollo del Álgebra Moderna y de la Lógica Matemática entre finales del siglo XIX y principios del siglo XX) resulta fundamental para entender por qué la Geometría de los griegos puede desprenderse de sus axiomas y estudiarse directamente usando la axiomática de Zermelo-Fraenkel, como el resto de la Matemática.

Existe una cierta controversia (aun hoy) sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica por primera vez como ""Geometría Analítica"", apéndice al ""Discurso del Método"", de Descartes, si bien se sabe que Pierre de Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en el siglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible que alguno de los citados matemáticos franceses tuvieran acceso a su obra.

En la coordenada x, el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha del eje vertical (eje de ordenadas), y el signo negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje horizontal (eje de abscisas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso). A la coordenada x se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la y se la denomina ordenada del punto.

LA GEOMETRIA CARTESIANA Pero es sin duda la aparición de la Geometría Cartesiana lo que marca la Geometría en la Edad Moderna. Descartes propone un nuevo método de resolver problemas geométricos, y por extensión, de investigar en Geometría. En un plano traza dos rectas perpendiculares (ejes) -que por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical-, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se de también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) e y la distancia al otro eje (al horizontal).

Pero los griegos tenían que desarrollar un método para saber si lo que hacían tenía bases sólidas y que no quedaran dudas del desarrollo del método, por lo cual empezaron a utilizar un método que más adelante se convirtió en el método matemático por excelencia, estamos hablando de la demostración.

Los matemáticos que empezaron a utilizar la geometría (como Rene Descartes) buscaban reunir conjunto de teoremas enlazados mediante cadenas de razonamiento o ecuaciones largas, que es lo que actualmente utilizamos

Estas eran de dos clases

Relaciones métricas, como por ejemplo “El segmento AC es el triple del segmento BC

Relaciones de posición las cuales son enunciadas por proposiciones como " La recta D, es paralela a la recta D"

Geometría analitica

LOS NUEVOS METODOS

Los límites del método algebraico El método algebraico se ve posibilitado por un avance en Álgebra hecho durante el siglo XVI, la resolución de las ecuaciones de grado 3º y 4º. Esto permite generalizar la Geometría, al estudiar curvas que no son dadas por polinomios de segundo grado, y que no pueden construirse con regla y compás -además de las cónicas, excluyendo a la circunferencia, claro-. Pero este método, que terminará constituyendo una disciplina propia, la Geometría Algebraica, tardará aun mucho -siglo XX- en salir de unas pocas nociones iniciales, prácticamente inalteradas desde Descartes, Fermat y Newton. La razón será la imposibilidad de resolver por radicales la ecuación de quinto grado, hecho no descubierto hasta el siglo XIX, y el desarrollo de la Teoría de Anillos y del Álgebra Conmutativa.

El Cálculo Infinitesimal El método algebraico tiene otra generalización natural, que es la de considerar una curva no solo como una ecuación polinómica, sino como una ecuación f(x,y) = 0 en la que el polinomio es ahora sustituido por una función cualquiera f. La generalización de todo esto desde el plano (2 coordenadas) al estereoespacio (3 coordenadas) se hace de forma natural añadiendo un tercer eje perpendicular (eje z) a los dos ya considerados, y las funciones tomarán la forma f(x,y,z). Ya Isaak Barrow descubre gracias a la Geometría Analítica la relación entre la tangente a una curva y el area que encierra entre dos puntos y los ejes coordenados en su famosa Regla de Barrow, antes incluso de que Newton y Leibnitz dieran cada uno su exposición del Cálculo Infinitesimal. La relación entre el Análisis Matemático y la Geometría es así estrechísima desde incluso los orígenes de aquél. Las ideas geométricas no sólo fueron la base de los instrumentos iniciales del Cálculo Infinitesimal, sino que fueron en gran medida su inspiración. Por eso resulta natural que en un primer momento, Descartes, Newton o los Bernoulli no distinguieran entre los conceptos de curva y de función de una variable, o de superficie y de función de dos variables (o si se quiere, de curva y los ceros de una función de dos variables o de superficie y los ceros de una función de tres variables). Fue Euler el primero en empezar a intuir la diferencia. En adelante, y hasta la aparición de Gauss, la Geometría queda supeditada a sus aplicaciones en Mecánica y otras ramas de la Física por medio de la resolución de Ecuaciones Diferenciales. En esta época aparece el que será el caballo de batalla de la Geometría Diferencial, el Teorema de la Función Implícita.

Agotamiento del método sintético La aparición de la Geometría Analítica trae consigo una nueva forma de entender la Geometría. El nuevo método, algebraico, sustituye al antiguo, el sintético, consistente en establecer unos axiomas y unas definiciones y deducir de ellos los teoremas. El método sintético está a estas alturas casi agotado (aunque aun dará algunos resultados interesantes, como la característica de Euler, la naturaleza de estos resultados no es ya tanto geométrica como topológica, y los resultados realmente importantes que se hagan en adelante en el campo de la Geometría ya vendrán de la mano de métodos algebraicos o diferenciales), da paso al método algebraico: estudio de los objetos geométricos como representaciones en el espacio de ciertas ecuaciones polinómicas, o dicho de otro modo, del conjunto de raices de polinomios. El método sintético sólo volverá a abordarse cuando aparezcan las geometrías no euclideas, y definitivamente deja de ser un instrumento de investigación geométrica a principios del siglo XX, quedando relegado a un conjunto de instrumentos y herramientas para la resolución de problemas, pero ya como una disciplina cerrada.

Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat , a principios del siglo XVII, y como vimos, relaciona la matemática y el álgebra con la geometría por medio de las correspondencias anteriores.

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La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números y a cada par ordenado de números le corresponde un punto en un plano.

Lo novedoso de la geometría analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x, y) = 0 , donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática.

De esa forma las primeras cosas que aprendieron a medirse con la geometría fueron la extensión de una línea, las rectas o las curvas y con un volumen limitado por superficies, pero al poco tiempo los griegos le adquirieron un sentido mas general para establecer relaciones

La palabra geometría proviene del griego y su significado es

Geo significa Tierra y Metron medidida

La geometría comenzó como la ciencia de medida de las extenciones

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