Conjuntos, Relaciones y Funciones
Conflict is present everywhere in the world around us. We experience conflict on a daily basis, and it can be minor or major.
Conflict in a story is a struggle between opposing forces. Characters must act to confront those forces and there is where conflict is born. If there is nothing to overcome, there is no story. Conflict in a story creates and drives the plot forward.
Funciones
(Combinatoria: Cantidad de funciones inyectivas.) Sean Am y Bn
conjuntos finitos, con m y n elementos respectivamente, donde m ≤ n. Entonces la cantidad de
funciones inyectivas f : Am → Bn que hay es
n · (n − 1)· · ·(n − m + 1) = n!
(n − m)
. (Composici´on.) Sean A, B, C conjuntos, y f : A → B, g : B → C funciones.
Entonces la composici´on de f con g, que se nota g ◦ f, definida por
g ◦ f(a) = g(f(a)), ∀ a ∈ A
(Combinatoria.) Sean A y B conjuntos finitos.
Sea f : A → B una funci´on biyectiva. Entonces #A = #B.
Sea f : A → B una funci´on sobreyectiva. Entonces #A ≥ #B.
Sea f : A → B una funci´on inyectiva. Entonces #A ≤ #B.
(Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas.) Sea f : A → B
f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva, es decir para todo elemento b ∈ B
existe exactamente un elemento a ∈ A para el cual f(a) = b
f es sobreyectiva si para todo elemento b ∈ B existe al menos un elemento a ∈ A para el
cual f(a) = b. Dicho de otra manera, f es sobreyectiva si Im(f) = B.
f es inyectiva si para todo elemento b ∈ B existe a lo sumo un elemento a ∈ A para el cual
f(a) = b. Dicho de otra manera, f es inyectiva si para todo a, a′ ∈ A tales que f(a) = f(a)entonces a = a
. (Combinatoria: Cantidad de funciones.) Sean Am y Bn conjuntos
finitos, con m y n elementos respectivamente. Entonces la cantidad de funciones f que hay de
Am en Bn es igual a n
m.
(Imagen de una funci´on.) Sea f : A → B es una funci´on. La imagen de
f, que se nota Im(f), es el subconjunto de elementos de B que est´an relacionados con alg´un
elemento de A. Es decir
Im(f) = {b ∈ B : ∃ a ∈ A tal que f(a) = b}
. (Igualdad de funciones). Sean f, g : A → B funciones. Se dice que f = g
cuando f(a) = g(a), ∀ a ∈ A
(Funci´on.) Sean A y B conjuntos, y sea R una relaci´on de A en B. Se dice
que R es una funci´on cuando todo elemento a ∈ A est´a relacionado con alg´un b ∈ B, y este
elemento b es ´unico. Es decir:
∀ a ∈ A, ∃ ! b ∈ B : a R b.
Relaciones
This situation results from a protagonist working against what has been foretold for that person. While this conflict was more prevalent in stories where gods could control fate, such as in ancient Greek dramas, there are still examples of this type of conflict in more contemporary literature.
(Combinatoria: Cantidad de relaciones.) Sean Am y Bn conjuntos
finitos, con m y n elementos respectivamente. Entonces la cantidad de relaciones que hay de Am
en Bn es igual a 2
m
Since in real life we can't say that such examples of man versus supernatural, there are some superstitions that can influence a person's life.
Give examples of these superstitions.
Superstitions
Black cat crossing your path
(Relaci´on.) Sean A y B conjuntos. Un subconjunto R del producto cartesiano A × B se llama una relaci´on de A en B. Es decir R es una relaci´on de A en B si
R ∈ P(A × B
Give examples of man versus fate conflict in a literary work.
Literary Work
Daniel Defoe - Robinson Crusoe
. (Relaciones de equivalencia y particiones.) Sea A un conjunto. Hay
una manera natural de asociarle a una relaci´on de equivalencia en A una partici´on de A. Rec´ıprocamente, a toda partici´on se le puede asociar unarelaci´on de equivalencia, y estas asociaciones
son inversas una de la otra.
. (Clases de equivalencia.) Sean A un conjunto y ∼ una relaci´on de equivalencia en A. Para cada a ∈ A, la clase de equivalencia de a es el conjunto
a = {b ∈ A : b ∼ a} ⊆ A.
(Relaci´on de equivalencia y relaci´on de orden.)
Sean A un conjunto y R una relaci´on en A.
Se dice que R es una relaci´on de equivalencia cuando es una relaci´on reflexiva, sim´etrica
y transitiva.
Se dice que R es una relaci´on de orden cuando es una relaci´on reflexiva, antisim´etrica y
transitiva.
. Sean A un conjunto y ∼ una relaci´on de equivalencia en A. Sean a, b ∈ A.
Entonces, o bien a ∩ b = ∅, o bien a = b.
Relaciones en un conjunto.
En esta secci´on consideramos relaciones de un conjunto en s´ı mismo.
Definici´on 1.2.3. Sea A un conjunto. Se dice que R es una relaci´on en A cuando R ⊆ A × A.
En la proposici´on anterior, nuestro enunciado es que alguna de las afirmaciones “a ∩ b = ∅”, o “a = b” valen. Si llamamos p a la primera y q a la segunda, queremos
probar que siempre es cierto p ∨ q. Si p es cierto, tambi´en lo es p ∨ q, luego basta probar que
si no vale p entonces debe valer q (que es lo que haremos a continuaci´on). El rol de p y de q
son intercambiables, con lo cual si resultase mas f´acil tambi´en podemos suponer que si no vale
q entonces debe valer p.
(Relaci´on reflexiva, sim´etrica (antisim´etrica) y transitiva.)
Sean A un conjunto y R una relaci´on en A.
Se dice que R es transitiva si para toda terna de elementos a, b, c ∈ A tales que (a, b) ∈ R
y (b, c) ∈ R, se tiene que (a, c) ∈ R tambi´en (dicho de otra manera, ∀ a, b, c ∈ A, a R b y
b R c ⇒ a R c). En t´erminos del grafo de la relaci´on, R es transitiva si hay un “camino
directo” por cada “camino con paradas”.
Se dice que R es antisim´etrica si cada vez que un par (a, b) ∈ R con a ̸= b, entonces el
par (b, a) ∈ R/ (dicho de otra manera, ∀ a, b ∈ A, a R b y b R a ⇒ a = b). En t´erminos
del grafo de la relaci´on, R es antisim´etrica si no hay ning´un par de flechas en sentidos
opuestos que unen dos v´ertices distintos.
Se dice que R es sim´etrica si cada vez que un par (a, b) ∈ R, entonces el par (b, a) ∈ R
tambi´en (dicho de otra manera, ∀ a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a). En t´erminos del grafo de la
relaci´on, R es sim´etrica si por cada flecha que une dos v´ertices en un sentido, hay una
flecha (entre los mismos v´ertices) en el sentido opuesto.
Se dice que R es reflexiva si (a, a) ∈ R, ∀ a ∈ A (dicho de otra manera, a R a, ∀ a ∈ A).
En t´erminos del grafo de la relaci´on, R es reflexiva si en cada v´ertice hay una flecha que
es un “bucle”, es decir que parte de ´el y llega a ´el.
Conjuntos
In this type of conflict, a character is tormented by natural forces such as storms or animals. This is also an external conflict.
Operaciones entre conjuntos.
Give examples of man versus nature conflict in the real world.
(Combinatoria: Cardinal de la uni´on y del complemento.)
Sean A, B conjuntos finitos dentro de un conjunto referencial U.
Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces #(A ∪ B) = #A + #B.
En general #(A ∪ B) = #A + #B − #(A ∩ B).
Si U es un conjunto finito, entonces #(A′
) = #U − #A.
Se deduce por ejemplo #(A − B) = #A − #(A ∩ B) y #(A △ B) = #A + #B − 2#(A ∩ B).
Proposici´on 1.1.8. Sean A, B, C conjuntos dentro de un conjunto referencial U. Entonces
Leyes de De Morgan, por el matem´atico brit´anico Augustus De Morgan, 1806-1871:
(A ∪ B)
′ = A
′ ∩ B
′
y (A ∩ B)
′ = A
′ ∪ B
′
.
Leyes distributivas:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) y A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Diferencia sim´etrica △: A △ B es el conjunto de los elementos de U que pertenecen a
A o a B pero no a los dos a la vez. Es decir
A △ B = {c ∈ U : (c ∈ A y c /∈ B) o (c ∈ B y c /∈ A)}.
A △ B = {c ∈ U : (c ∈ A y c /∈ B) o (c ∈ B y c /∈ A)}.
A o a B pero no a los dos a la vez. Es decir
Diferencia sim´etrica △: A △ B es el conjunto de los elementos de U que pertenecen a
Diferencia −: A − B es el conjunto de los elementos de A que no son elementos de B, o
tambi´en, A − B = A ∩ B′
. Es decir
A − B = {a ∈ A : a /∈ B}, o tambi´en a ∈ A − B ⇐⇒ a ∈ A y a /∈ B.
Intersecci´on. Sean A, B subconjuntos de un conjunto referencial U. La intersecci´on de
A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos de U que pertenecen tanto a A como a B. Es
decir
A ∩ B = {c ∈ U : c ∈ A y c ∈ B}, o tambi´en c ∈ A ∩ B ⇐⇒ c ∈ A y c ∈ B.
Uni´on: Sean A, B subconjuntos de un conjunto referencial U. La uni´on de A y B es el
conjunto A ∪ B de los elementos de U que pertenecen a A o a B. Es decir
A∪B = {c ∈ U : c ∈ A y c ∈ B}, o tambi´en ∀ c ∈ U, c ∈ A∪ B ⇐⇒ c ∈ A o c ∈ B.
Complemento: Sea A subconjunto de un conjunto referencial U. El complemento de A
(en U) es el conjunto A′ de los elementos de U que no pertenecen a A. Es decir
A
′ = {b ∈ U : b /∈ A}, o tambi´en ∀ b ∈ U, b ∈ A
′ ⇐⇒ b /∈ A.
Producto cartesiano.
(Combinatoria: Cardinal del producto cartesiano y del conjunto
de partes.)
1. Sean A y B conjuntos finitos. Entonces #(A × B) = #A · #B.
Si A = {a1, . . . , an} y B = {b1, . . . , bm}, entonces
A × B = {(a1, b1), . . . ,(a1, bm),(a2, b1), . . . ,(a2, bm), . . . ,(an, b1), . . . ,(an, bm)}.
Sean A, B conjuntos. El producto cartesiano de A con B, que se nota A×B,
es el conjunto de pares ordenados
A × B := {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.
El nombre producto cartesiano fue puesto en honor al matem´atico, f´ısico y fil´osofo franc´es
Ren´e Descartes, 1596-1650. El plano euclideo R
2 = {(x, y); x, y ∈ R} representado mediante
los ejes cartesianos es el plano donde constantemente dibujamos los gr´aficos de las funciones.
Tablas de verdad de la l´ogica proposicional.
Sean p(x), q(x) predicados que pueden ser Verdaderos o Falsos sobre los elementos de un conjunto
U. Se vio que las operaciones b´asicas de conjuntos est´an definidas por medio del no (para el
complemento), del o no excluyente para la uni´on, del y para la intersecci´on, y del o excluyente
para la diferencia sim´etrica. Estos se llaman conectores l´ogicos: ¬ (“no”, o “NOT”), ∨ (“o” no
excluyente, u “OR”), ∧ (“y”, o “AND”), ∨∨ (“o excluyente”, u “XOR”), y se les puede agregar
⇒ (implica, o si . . . entonces) y ⇔ (si y solo si).
Conjuntos y subconjuntos, pertenencia e inclusi´on
Give examples of man versus nature conflict in a literary work.
(Conjunto de partes.) Sea A un conjunto. El conjunto de partes de A, que
se nota P(A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, o sea el conjunto cuyos
elementos son los subconjuntos de A. Es decir
P(A) = {B : B ⊆ A} o tambi´en B ∈ P(A) ⇐⇒ B ⊆ A.
. (Combinatoria, o el arte de contar.) Sea A es un conjunto finito y
sea B ⊆ A. Entonces #B ≤ #A. (Esto vale tambi´en para conjuntos infinitos, como ver´an m´as
adelante los matem´aticos.)
(Igualdad de conjuntos.)
A = B ⇐⇒ A ⊆ B y B ⊆ A.
Es decir A = B si tienen exactamente los mismos elementos (sin importar el orden y sin tener
en cuenta repeticiones de elementos). (Aqu´ı, el s´ımbolo “⇔” es el s´ımbolo de la bi-implicaci´on,
que se lee “si y s´olo si”.)
que se lee “si y s´olo si”.)
en cuenta repeticiones de elementos). (Aqu´ı, el s´ımbolo “⇔” es el s´ımbolo de la bi-implicaci´on,
Es decir A = B si tienen exactamente los mismos elementos (sin importar el orden y sin tener
A = B ⇐⇒ A ⊆ B y B ⊆ A.
(Igualdad de conjuntos.)
(Subconjuntos e Inclusi´on.) Sea A un conjunto. Se dice que un conjunto
B est´a contenido en A, y se nota B ⊆ A (o tambi´en B ⊂ A), si todo elemento de B es un elemento
de A. En ese caso decimos tambi´en que b est´a inclu´ıdo en A, o que B es un subconjunto de A.
Si B no es un subconjunto de A se nota B ̸⊆ A (o B ̸⊂ A).
(Cardinal de un conjunto.) Sea A un conjunto, se llama cardinal de A a
la cantidad de elementos distintos que tiene A, y se nota #A. Cuando el conjunto no tiene un
n´umero finito de elementos, se dice que es infinito, y se nota #A = ∞.
n´umero finito de elementos, se dice que es infinito, y se nota #A = ∞.
la cantidad de elementos distintos que tiene A, y se nota #A. Cuando el conjunto no tiene un
(Cardinal de un conjunto.) Sea A un conjunto, se llama cardinal de A a
El orden de los elementos no importa en un conjunto, y en un conjunto
no se tiene en cuenta repeticiones de elementos.
Un conjunto es una colecci´on de
objetos, llamados elementos, que tiene la propiedad que dado un objeto cualquiera, se puede
decidir si ese objeto es un elemento del conjunto o no.
