conceptualización de matrices, vectores y determinantes

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B. Propiedades de los vectores, operaciones básicas con vectores, vectores base, producto punto y producto vectorial.

Operaciones básicas con vectores : Suma de vectores. Resta de vectores. Multiplicación de vectores. Producto de un vector por un escalar. Producto escalar. Producto vectorial. Producto mixto. El producto punto o producto escalar de dos vectores es una operación que da como resultado un número real. Hay distintas formas de definir esta operación, una de ellas es por medio de multiplicar el producto de los módulos de los vectores por el coseno del ángulo. Tenemos las siguientes propiedades importantes del producto punto: Conmutativa Asociativa al multiplicar por un número real. Distributiva con la suma. Si \vec{v} \neq 0, entonces se cumple que. La magnitud del producto vectorial de dos vectores es el resultado de multiplicar las magnitudes de cada vector y por el seno del ángulo que forman ambos vectores (< 180 grados) entre ellos.

Propiedad de los vectores :Como toda operación, la suma de vectores tiene unas propiedades que facilitan su realización. Estas son la propiedad conmutativa, propiedad asociativa, la propiedad distributiva y el inverso aditivo. La propiedad conmutativa es la propiedad donde el orden de los sumandos no altera la suma. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, A+B = B+A. La propiedad asociativa es la propiedad donde la forma de agrupar los vectores no altera la resultante (la suma). Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, (A+B)+C = A+(B+C). La propiedad distributiva es la propiedad que relaciona la multiplicación y la suma. Sean A y B dos vectores cualesquiera entonces, k(A+B) = kA+kB. La propiedad del inverso aditivo es la propiedad donde la suma de un vector y su vector opuesto es cero. Sean A y -A dos vectores cualesquiera entonces, A+(-A) = 0.

A. Expresión algebraica de un vector, norma, ángulos directores y vectores unitarios.

R3

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje 3, perpendicular en el origen de coordenadas de los ejes X E .Cada unto viene determinado por tres coordenadas - p(x,y,3).

Definición

Es un segmento de recta orientado, que sirve para representarlas magnitudes verticales

Modulo o intensidad

Elementos que componen un vector

R2

Se ubican en el plano cartesiano de ejes x e y.

E. Determinantes, determinantes 𝑛x𝑛, algunas propiedades de los determinantes.

Propiedad 1El determinante del producto de matrices es el producto de sus determinantes. Propiedad 2 El determinante de una matriz con alguna fila o columna de ceros es 0. Propiedad 3 Se puede extraer factor común de una fila o columna multiplicando el determinante por el factor. Propiedad 4 Se puede extraer el mismo factor común de n filas o columnas multiplicando el determinante por el factor elevado a n. Propiedad 5 Si se cambia el orden de una fila o de una columna, el determinante cambia de signo. Propiedad 6 Si se cambia el orden de n filas o columnas, el determinante cambia de signo si n es impar. Propiedad 7 Si una matriz es invertible, el determinante de la inversa es el inverso del determinante. Propiedad 8 El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. Propiedad 9 Si una matriz tiene filas o columnas linealmente dependientes, entonces su determinante es 0. Propiedad 10 El determinante no cambia si se suman filas (o columnas) multiplicadas por números distintos de 0. Propiedad 1 El determinante de una matriz diagonal es el producto de los elementos de su diagonal. Propiedad 12 El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal.

Topic principal

C. Matriz, tipos de matrices, operaciones con matrices (suma, resta y multiplicación), operaciones elementales sobre matrices.

SUMA DE MATRICES: Dadas dos matrices del mismo orden, A y B, se define su suma como otra matriz, C, del mismo orden que las matrices sumando cuyos elementos se obtienen sumando a cada elemento de la primera matriz, A, el correspondiente elemento de la segunda matriz sumando B. La resta de dos matrices del mismo orden A y B, se define como la suma de A más la matriz opuesta de B, por lo que resultará ser otra matriz del mismo orden, D, cuyos elementos se obtienen de restar a cada elemento de la primera matriz A (minuendo) el elemento correspondiente de la matriz que resta, B (sustraendo). PRODUCTO DE MATRICES: Para poder multiplicar dos matrices A y B, ( B A ⋅ ), el número de columnas de la matriz que multiplica en primer lugar, A, debe ser igual al número de filas de la matriz que multiplica en segundo lugar, B. Así pues, dadas dos matrices Amxn, Bnxp, el resultado de multiplicar A por B, B A ⋅, es otra matriz C = B A, con tantas filas como la matriz que multiplica en primer lugar y tantas columnas como la matriz que aparece en el producto en segundo lugar, Cmxp. Los elementos de la matriz C se obtienen de multiplicar las filas de la primera matriz por las columnas de la segunda matriz.

TIPOS DE MATRICES : MATRIZ FILA,MATRIZ COLUMNA,MATRIZ RECTANGULAR,MATRIZ TRASPUESTA,MATRIZ NULA,MATRIZ CUADRADA. TIPOS MATRIZ CUADRADA:MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR,MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR,MATRIZ DIAGONAL,MATRIZ ESCALAR,MATRIZ IDENTIDAD O UNIDAD,MATRIZ REGULAR,MATRIZ SINGULAR,MATRIZ SIMÉTRICA,MATRIZ ANTISIMÉTRICA O HEMISIMÉTRICA,MATRIZ ORTOGONAL.

Una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular. Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas. Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, designaremos por a32 el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A.

D. Matriz inversa.

Si su determinante es distinto de 0. Si una matriz tiene inversa, se dice que es invertible o regular. En caso contrario, se dice que es irregular o singular.