von Илья Шпилевой Vor 4 Jahren
448
Mehr dazu
Ямвлих рассказывает, как однажды Пифагор (около 570 - около 500 лет до н. э.) на вопрос, кого следует считать другом, якобы ответил так: "Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284."
В XX веке математики обобщили понятие дружественных чисел и занялись поиском дружественных рядов (или общительных чисел) - замкнутых циклов из трех и более чисел. Например, в тройке чисел 1 945 330 728 960, 2 324 196 638 720; 2 615 631 953920 делители первого числа в сумме дают второе число, делители второго в сумме дают третье число, а делители третьего числа в сумме дают первое число. Пример пятёрки общительных чисел: 12 496, 14 288, 15 472, 14 536, 14 264. Один из известных циклов, состоящий из 28 чисел (1918 г.): 14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716.
В 1937 г. Виноградов И.М. почти полностью решил проблему Гольдбаха – Эйлера. Он доказал, что существует среди натуральных чисел такое число «С», за которым всякое нечетное натуральное число является суммой трех простых чисел, причем это число «С» очень велико. Например, 21= 3+7+11, 23= 5+7+11 и т.д. Но утверждение «любое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел» (например: 28 = 11 + 17, 56 = 19 + 37, 924 = 311 + 613 и т. д.) до сих пор не доказано. Созданный при решении проблемы Гольдбаха метод И.М. Виноградова позволяет решать и ряд существенно более общих задач.
Источник: Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах. 1963 г. с. 21
Виноградов И.М. доказал в общем виде проблему Варинга, и при этом ему удалось дать весьма точную оценку числа необходимых слагаемых. Граница для числа слагаемых была выражена величиной равной п[3(lnn + 11)], где n – показатель степени слагаемых.
Источник: Болгарский В.Б. Очерки по истории математики. 1979 г. с. 343
Другое доказательство теоремы о представлении достаточно большого нечётного числа в виде суммы трёх простых было дано в 1945 г. Ю.В. Линником.
Источник: Научное наследие России. Гольдбах Христиан
Лев Генрихович Шнирельман (1905-1938) в 1931 г. добился значительных успехов в решении проблемы Гольдбаха – Эйлера. Крупным успехом на пути решения проблемы Гольдбаха была доказанная Л.Г. Шнирельманом (1930) теорема о том, что всякое целое число, большее единицы, есть сумма ограниченного числа простых чисел.
Источник: Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах. 1963 г. с. 21
Решая проблему Гольдбаха - Эйлера, Виноградов И.М. сумел показать, что для достаточно больших чисел теорема справедлива. При этом «достаточно большое число», согласно более поздним исследованиям математика Бороздкина, оказалось равным приблизительно числу, которое выражается так:
C=ee^e^41,96, где е = 2,71828… Если бы это число можно было записать в развернутом виде, то его запись обернулась бы вокруг земного экватора 100 миллионов раз.
Источник: Болгарский В.Б. Очерки по истории математики. 1979 г. с. 345
Следующим математиком после Эйлера, кто пополнил коллекцию дружественных чисел еще одной парой, был наш выдающийся соотечественник Пафнутий Львович Чебышев (1821-1894) в 1851 году.
Коркин Александр Николаевич (1837-1908)
Заслуженный профессор Санкт-петербургского университета (1886). Член Санкт-Петербургского математического общества. Совместно с Золотаревым Е.И. выполнил работу по арифметической теории квадратических форм.
Источник: Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. 1984 г. с. 257
Марков Андрей Андреевич (1856-1922)
Марков А.А. существенно продвинул классические исследования предшественников, касающиеся закона больших чисел и центральной предельной теоремы теории вероятностей, а также распространил их и на цепи Маркова. Математик своим открытием сделал крупнейший вклад в теорию случайных процессов и теорию вероятностей вообще. Работ по теории чисел у ученого сравнительно немного – 15, но они имеют непреходящее значение для этой теории. Сюда относится, прежде всего, магистерская диссертация «О бинарных квадратичных формах положительного определителя». Была высоко оценена Чебышевым. Диссертация посвящена проблеме арифметических минимумов неопределенных бинарных квадратичных форм. В последующих статьях рассматривается проблема арифметических минимумов неопределенных тернарных и кватернарных квадратичных форм. Идеи и результаты Маркова оказали большое влияние на дальнейшее развитие теории чисел.
Источник: Математика для школ
Вороной Георгий Феодосьевич (1868-1908)
Вороной Георгий Феодосьевич - ученик Маркова А.А. Работа Вороного "Об одной задаче из теории асимптотических функций" (1903) стимулировала развитие современной аналитической теории чисел. Вороному принадлежат также замечательные по точности оценки (лишь в 1917 превзойденные И. М. Виноградовым) в одной из классических проблем аналитической теории чисел.
Источник: Математика для школ
Золотарев Егор Иванович (1847-1878)
Выдающейся стала работа Золотарева Е.И. Он создал общую теорию делимости в алгебраических полях. Егор Иванович Золотарёв наиболее известен как автор одного из самых простых доказательств (1872) закона взаимности, Леммы Золотарева. Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю. Согласно этому закону, если p, q — нечётные простые числа и хотя бы одно из них имеет вид 4k + 1, то два сравнения: x2 = q (mod p).
Источник: Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. 1984 г. с.257
Сформулирована в 1770 г. английским математиком Варингом (1734-1798) и читается так: «доказать, что всякое целое число N может быть представлено в виде суммы не более чем четырех квадратов». Например: 11 = 32 + 12 +12, 29 = 52 + 22, 55 = 72 + 22 + 12 + 12, 286 = 162 + 52 + 22 + 12.
Источник: Болгарский В.Б. Очерки по истории математики. 1979 г. с. 344
В 1742 г. член Петербургской Академии наук Х. Гольбах в письме к Эйлеру, члену той же Академии наук, высказал гипотезу: Любое натуральное нечетное число, больше пяти, представляет сумму трех простых чисел. Эйлер ответил, что не может доказать эту гипотезу и выдвинул свою гипотезу, связанную с первой: Всякое четное натуральное число, больше двух, представляет сумму двух простых. В течение многих лет выдающиеся математики многих стран стремились доказать проблему Гольдбаха – Эйлера. Числовая проверка этого свойства, доведенная к началу XX в. до 9000000, показала, что гипотеза Гольдбаха верна. Но проблема Гольдбаха – Эйлера средствами современной математики не может быть доказана.
Источник: Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике в старших классах. 1963 г. с. 21
Гольдбах Христиан немецкий философ, археолог, математик, метафизик, большую часть жизни проживший в России. Уроженец Кенигсберга, изучал в Кенигсбергском университете право и математику. В молодости много путешествовал по Европе. Член Петербургской АН с 1725, ее почетный член с 1742. С 1727 занимался воспитанием Петра II. Член коллеги по иностранным делам (1742), тайный советник (1760). Известен трудами по математическому анализу, в 1742 сформулировал проблему Гольдбаха.
Леонард Эйлер включился в поиск дружественных чисел. Он получил утверждение, очень похожее на правило Сабита, но более общее. С помощью своего обобщения он не смог найти новые дружественные числа, так как в то время необходимые ему таблицы простых чисел были составлены только до 100 000.
Эйлер искал дружественные числа и совершенно иного вида, чем его предшественники, в частности нечетные. Среди них оказались и пары нечетных дружественных чисел вида а · p · q и а · r, где р, q, r – простые числа. Например:
(32 · 7 · 13) · 5 · 17 и (32 · 7 · 13) · 107;
(34 · 5 · 11) · 29 · 89 и (34 · 5 · 11) · 2699.
В своих мемуарах «О дружественных числах» и «О сумме делителей» Эйлер излагает пять различных методов выявления дружественных чисел. С 1747 года по 1750 год он обнаружил 59 пар дружественных чисел.
Эйлер исследует числа специального вида: дружественные, многоугольные, удобные, обобщенные простые и другие, а также свойства некоторых важных арифметических функций, в частности функции σ(n) – суммы делителей числа n. В этот же период он дает эскиз доказательства теоремы о многоугольных числах, рассматривает теорему о двух квадратах и связанные с ней утверждения и теоремы, а затем теорему о четырех квадратах. Таким путем в 1751 г. он приходит к следующей вершине своих изысканий – квадратичному закону взаимности.
1.Известно более 1 000 000 000 пар дружественных чисел. Все они состоят из чисел одинаковой чётности. Существует ли смешанная (чётно-нечётная) дружественная пара?
2. Конечно или бесконечно число дружественных пар?
3. Существует ли формула для нахождения всех дружественных пар?
4. Верна ли гипотеза Брэтли и Мак-Кэй, что все нечетные дружественные числа кратны 3, а сумма чисел, образующую дружественную пару, кратна 9?
5. Существуют ли взаимно простые дружественные числа? Если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше 1067.
