DERIVADAS

Sea f(x)=c, donde c es una constante y pertenece a los reales entonces su derivada es igual a cero. Es decir, f' (x)=0.DEMOSTRACION:Función propuesta:f(x)=c, c es una constanteIncrementamos la función: f'(x+∆x)=cFormula de la derivada:f'(x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗Remplazamos los valores en la formula:f'(x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(c-c)/∆x〗Resolvemos:f'(x)=lim┬(∆x→0)⁡〖0/∆x〗Evaluamos el límite:f'(x)=lim┬(∆x→0)⁡0Luego:f'(x)=0La derivada de la función constante es igual a cero.Simbólicamente: si f(x)=c, con c € R, entonces f'(x)=0,c es una constante.

Sea f(x)=x,entonces f'(x)=1DEMOSTRACIONFunción propuesta:f(x)=xIncrementamos la función:f(x+∆x)=(x+∆x)Formula de la derivada:f'(x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗Remplazamos los valores en la formula:f'(x)=lim┬(∆x→0)⁡〖((x+∆x)-x)/∆x〗Efectuamos las operaciones indicadas y simplificamos:f'(x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(x+∆x-x)/∆x〗f'(x)=lim┬(∆x→0)⁡〖∆x/∆x〗f'(x)=lim┬(∆x→0)⁡1Evaluamos el límite de una constante:f^' (x)=1La derivada de la función idéntica es igual a1. Simbólicamente se representa así:Si f(x)=x,entoces f^' (x)=1

Sea h(x)=cf(x), c ∈ R y f(x) una función cuya derivada existe entonces h^' (x)=cf^' (x).DEMOSTRACIONFuncion propuesta:h(x)=cf(x)Incrementamos la función:h(x+∆x)=cf(x+∆x)Formula de la derivada:h^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(h(x+∆x)-h(x))/(∆(X))〗Remplazamos los valores en la formula: h^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(cf(x+∆x)-cf(x))/∆x〗Factorizamos: h^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡c|(f(x+∆x)-f(x))/∆x|Propiedades de límites: h^' (x)=c lim┬(∆x→0)⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗Pero: lim┬(∆x→0)⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗=f^' (x)Entonces:h^' (x)=cf^' (x)La derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función.Simbólicamente se representa asi:Si h(x)=cf(x).c ϵ R entonces,h^' (x)=cf^' (x),c ϵ R.

Sea f(x)=mx+b, donde m y b son constantes, entonces f^' (x)=m.DEMOSTRACIONFunción propuesta:f(x)=mx+bIncrementamos la función:f(x+∆x)=m(x+∆x)+bFormula de la derivada:f^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗Remplazamos los valores de la formula: f^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖([m(x+∆x)+b]-[mx+b])/∆x〗Efectuamos las operaciones indicadas y simplificaciones: f^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(mx+m∆x+b-mx-b)/∆x〗f^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖m∆x/∆x〗f^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡mEvaluamos el límite de una constante:f^' (x)=mLa derivada de una función lineal es igual al coeficiente de la variable independiente, es decir, su pendiente.Simbólicamente se expresa así:Si f(x)=mx+b,entonces f^' (x)=m

Probaremos el caso donde n es entero positivo.Sea f(x)=x^n, donde n es un número entero positivo, entonces f(x)=nx^(n-1)DEMOSTRACIONFunción propuesta: f(x)=x^nIncrementamos la función: f(x+∆x)=(x+∆〖x)〗^nFormula de la derivada: f^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗Remplazamos los valores en la formula: f^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖((x+∆〖x)〗^(n )-x^n)/∆x〗Aplicamos el binomio de newton en (x+∆〖x)〗^n y simplificamos:f^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(x^n+nx^(n-1) ∆x+(n(n-1))/2! x^(n-2) ∆x^2+⋯+∆x^n-x^n)/∆x〗f^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(nx^(n-1) ∆x+(n(n-1))/2! x^(n-2) ∆x^2+⋯+∆x^n)/∆x〗f^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖∆x(nx^(n-1)+(n(n-1))/2! x^(n-2) ∆x+⋯+∆x^(n-1) )/∆x〗f^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡(nx^(n-1)+(n(n-1))/2! x^(n-2) ∆x+⋯+∆x^(n-1) )Como puedes ver, cada termino diferente del primero tiene un factor ∆x. Por eso, al calcular el limite cuando ∆x tiende a cero, cada termino diferente del primero tiende a cero. Luego:f^' (x)=nx^(n-1)De igual manera, puede demostrarse q si n es cualquier numero real, la derivada de f(x)=x^n es f^' (x)=nx^(n-1)La derivada de una potencia es igual al producto de si esponente n, por la base elevada al exponente disminuido en 1.Simbólicamente se representa asi:Si f(x)=x^n,entonces f^' (x)=nx^(n-1) para n ϵ R

Seah(x)=[f(x)+g(x)],entonces h^' (x)=f^' (x)+g^' (x) siempre que f^' (x) y g'(x) existan.DEMOSTRACIONFunción propuesta: h(x)=[f(x)+g(x)]Incrementando la función: h(x+∆x)=[f(x+∆x)+g(x+∆x)]Definición de la derivada h^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(h(x+∆x)-h(x))/∆x〗Remplazamos: h^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖([f(x+∆x)+g(x+∆x)]-[f(x)+g(x)])/∆x〗h^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖([f(x+∆x)+g(x+∆x)]-f(x)-g(x))/∆x〗Asociamos: h^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡[(f(x+∆x)-f(x))/∆x+(g(x+∆x)-g(x))/∆x]h^' (x)=lim┬(∆x→0)⁡〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗 〖+lim┬(∆x→0)〗⁡〖(g(x+∆x)-g(x))/∆x〗h^' (x)=f^' (x)+g'(x)`La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de sus derivadas, siempre que existan.Simbólicamente: si h(x)=[f(x)+g(x)], entonces: h^' (x)=f^' (x)+g^' (x)

La derivada es un concepto que tiene varias aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto .También en que se puede determinar la pendiente de la recta tangente en un punto de una curva, es a través del concepto de limite.En general, si f(x) es una función real:La función m(x)=lim┬(∆n→∞) (f(x+∆x)-f(x))/∆x se interpreta como la función que determina la pendiente m de la recta tangente en cualquier punto x, siempre que el límite exista.A esta función se le denomina derivada de f(x) y se denota por f^' (x).La derivada de una función también se denota por: y^'; dy/dx;(y);Dx [f(x) ];d/dx[f(x)]