Plano Cartesiano

Es un elemento de dos dimensiones que dispone de dos rectas paralelas y perpendiculares entre sí, Que son interrumpidas en el mismo punto de ¨origen¨

Su nombre deriva del latín ¨Cartesius¨ dado por el filósofo francés René Descartes (XVI-XVII)

La coordenada cartesiana vertical ¨Y¨ recibe el nombre de ¨ordenada¨; y la horizontal ¨X¨ recibe el nombre de ¨abscisa¨

Los ejes coordenados dividen el plano en 4 partes y son llamados ¨cuadrantes¨

Estas permiten establecer la posición de un punto (llamado ¨P¨) y llevar a cabo diversas funciones.

Para graficar se usan una cuadrícula horizontal y vertical para describir información sobre la localización de un objeto, puede encontrarse usando la letra y el número de su cuadrícula

Cada eje representa una escala numérica que será positiva o negativa de acuerdo a su dirección desde el origen, el segmento derecho del eje “X” es positivo, mientras que el izquierdo es negativo

Así mismo, el segmento ascendente del eje “Y” es positivo, mientras que el segmento descendente es negativo

¿CÓMO GRAFICAR UN PUNTO EN EL PLANO CARTESIANO?

Esta simple estructura permite identificar a cualquier par ordenado de números con un punto del plano. Por ejemplo, con un par numeral (1,4) se identifica con el punto P.

Se procede así:

1) Se traza una recta vertical que pase por el punto 1 del eje horizontal.

2) Se traza otra recta horizontal que pase por el punto 4 del eje vertical. El punto de intersección de las dos rectas trazadas es el punto P (1,4)

En el par ordenado (1,4), al número 1 se le llama la abscisa del punto P y al número 4, la ordenada del punto P

El punto donde se interceptan los ejes de coordenadas es llamado el origen de coordenadas y se identifica con el par ordenado (0,0)

Intersecciones con el eje X: sustituye en la ecuación Y por 0 y se despeja la variable X

Intersección con el eje Y: Se sustituye en la ecuación X por 0 y se despeja la variable Y

Simetría respecto al eje X: cuando al cambiar en la ecuación la variable Y por -Y, la ecuación no cambia. ( x ,y )= grafico ( x1, -y ) = grafico

Simetría respecto al eje Y: cuando al cambiar la ecuación la variable X por -X, la ecuación no cambia: ( x, y )= grafica ( -x, y )= grafico

Simetría respecto al Origen: cuando al cambiar simultáneamente en la ecuación la variable X por -X y la variable Y por -Y, la ecuación no cambia: ( x, y )=grafica (-x, -y)= grafico

La recta se entiende como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal.

Recta es la representación gráfica de una expresión algebraica o ecuación lineal de primer grado. Esta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la misma. Hay varias formas de representarla:

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Para determinar una línea recta es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano, con abscisas (X) y ordenadas (Y)

Todas las rectas del plano, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0

Que también puede escribirse como: ax + by + c = 0, donde A,B,C pertenecen a los números reales ( ); y en que A y B son simultáneamente nulos, representa una línea recta.

ECUCACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA

Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.

La ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente también se conoce, que se obtiene con la fórmula ( y = mx + n) que considera las siguientes variables: un punto (X,Y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (n), y es conocida como ecuación principal de la recta.

Si tenemos
y = 3x − 4 esto es igual a,
3x − y − 4 = 0 (ecuación de la recta)

Hay dos maneras de obtener la pendiente: directa e indirecta.

FORMA INDIRECTA

Obtenemos dos puntos (X e Y) a partir de dos valores dados a X , y los colocamos en la ecuación de la recta:

Para finalmente sustituir en la fórmula de la pendiente:
m= (y2 – y1)
(x2 – x1)

FORMA SIMPLIFICADA O DIRECTA

La ecuación de la recta de la forma es: y = mx + b

Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto
b = 10

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b .Usamos la información que tenemos:
m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación
y = 3x + 10.
La ecuación que se pide es y = 3x + 10.

Nótese que esta forma principal también podemos expresarla como una ecuación general:
y – 3x – 10 = 0 ,la cual amplificamos por –1, quedando como
– y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar
3x – y + 10 = 0.

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3.

Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 1/5.

Además:
Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje X). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen.

Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.

DETERMINAR LA PENDIENTE

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Si una recta tiene pendiente de m=-3 y es paralela a otra. Entonces esta también tendrá pendiente de m=-3

Las perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.

Una recta que tenga pendiente m=-5 y es perpendicular a otra, esta otra tendrá entonces pendiente de 1/5.

Si m=0 la recta es horizontal (paralela al eje X). Si y=0, la recta es perpendicular. Si n=0 la recta pasa por el origen.

La fórmula utilizada es m=y2-y1x2-x1

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS:

La ecuación utilizada es la siguiente: y2-y1x2-x1=y-y1x-x1

También puede expresarse como: y-y1=(x-x1)y2-y1x2-x1

Estas se calculan a partir de la ecuación vectorial, cuya fórmula conocida es:

(x, y) = x0, y0) + t. ( a , b)

Obtenida ésta, procedemos a multiplicar el número t (el parámetro t, o parámetro de proporcionalidad) por las coordenadas del vector:

(x, y)= (x0, y0 ) + (t. a, t. b)

Sumamos ambos vectores, las coordenadas x de los vectores por un lado y las coordenadas «y» por el otro, expresándolas en un sólo vector:

(x,y)= (x0+ t . a , y0 + t. b)

Llegados a este punto, podemos escribir en una ecuación la coordenada x y en otra ecuación la coordenada «y» del vector obtenido anteriormente, obteniendo las ecuaciones paramétricas de una recta

x= x0+ t. a

y= y0 + t. b

Donde X0 e Y0 corresponden a las coordenadas del punto por donde pasa la recta y a y b a las coordenadas de su vector de dirección:

P0 (x0, y0) v=(a,b)