PROYECTO DE SINTESIS CALCULO

TEMA II

RELACION ENTRE ELEMENTO Y CONJUNTO

Al comparar un elemento y un conjunto, se puede determinar si el elemento hace parte del conjunto ó no hace

parte del conjunto. Si el elemento hace parte del conjunto se dice que el elemento pertenece al conjunto y se

utiliza el símbolo ∈, se lee “pertenece”. Si el elemento no hace parte del conjunto se dice que el elemento no

pertenece al conjunto y se utiliza el símbolo ∉, se lee “no pertenece”

La única relación que se da entre elemento y conjunto es de Pertenencia ó de No Pertenencia

EJEMPLO:
G = {a, r, b, o,l}
a∈G; o∈G; b∈G; l∈G; r∈G; m∉G, p∉G; 3∉G; luna∉G

RELACION ENTRE CONJUNTO Y CONJUNTO

TEMA I

CONJUNTO

Un CONJUNTO es una colección de elementos con características similares consideradas en

sí misma como un objeto.

Los ELEMENTOS de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras

Un conjunto se simboliza ó bautiza con letra mayúsculas del abecedario, a continuación el signo Igual (=) y por

último el signo de agrupación llaves { } el cual contiene los elementos que conforman el conjunto, de esta

forma queda bien determinado el conjunto.

M = {a, e, i, o, u}

K = {0, 2, 4, 6, 8}

A = {μ, π,⋒, ⋀ , ⨂ ,⟺,⟼, ⊈, ⊿,∡}

Por comprensión: En este caso no se nombran ni se escriben los elementos que conforman al conjunto.
Para escribir el conjunto por comprensión todos los elementos deben tener una característica, propiedad,
cualidad única de tal manera que al enunciarla se puede decir con certeza cuales son exactamente esos elementos, y ni uno menos, y ni uno más.

Un conjunto por comprensión se escribe: H = {x/p(x)} donde x hace referencia a la clase ó tipo de elementos y p(x) indica la propiedad, característica, cualidad única que tiene dichos elementos que los hace
únicos.

Ejemplo:

x: letras del abecedario

p(x): letras VOCALES del abecedario

M = {x/ x letras VOCALES del abecedario}

x:numeros

p(x): números DIGITOS PARES

K = {x/x números DIGITOS PARES}

Por extensión: se nombran y escriben todos y cada uno de los elementos que lo conforman.

Ejemplo:

B = {a, e, i, o, u}

D = {a, m, e, r, i, c, a}

S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}

CONTENENCIA DE CONJUNTOS

Al comparar dos conjuntos entre ́si, se puede determinar si los conjuntos son iguales ó son diferentes; si uno de
los conjuntos está contenido ó no está contenido dentro del otro conjunto, ó lo que es lo mismo si un conjunto
contiene ó no contiene al otro conjunto.

B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} E = {2,3,5,7}, el conjunto E está contenido en el conjunto B, se escribe E ⊂ B. El conjunto

B no está contenido en el conjunto E, se escribe B ⊄ E

Un conjunto se dice que está contenido en otro conjunto ó que un conjunto contiene a otro conjunto, cuando todos

los elementos de un conjunto hacen parte ó pertenecen al otro conjunto, pero lo contrario no se da. El símbolo

de contenencia es “⊂” y se lee: el conjunto...está contenido en el conjunto....

Un conjunto se dice que no está contenido en otro conjunto ó que un conjunto no contiene a otro conjunto, cuando

algunos de los elementos de un conjunto no hacen parte ó no pertenecen al otro conjunto, y lo contrario tampoco

se da. El símbolo de no contenencia es “⊄” y se lee: el conjunto...no está contenido en el conjunto....

Si entre dos conjuntos se da la doble contenencia, se dice que los conjuntos son iguales.

IGUALDAD DE CONJUNTO

Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos, no la misma cantidad de elementos. Se escribe
el símbolo “=” cuando los conjuntos son iguales
Si dos conjuntos no tienen los mismos elementos, se dice que los conjuntos son diferentes, se escribe el símbolo
“≠” , se lee diferente ó no iguales.

R = {r, c, a, o, r } T = {a, r, o, c} al comparar los conjuntos se dice que son iguales R = T

G = {o,t, a, m} D = {m,i,t, o} al comparar los dos conjuntos se dice que son diferentes G ≠ D

TEMA III

CLASIFICACIÓN DE LOS CONJUNTOS SEGÚN SU EXTENSIÓN

CONJUNTO FINITOS

Un conjunto se dice que es finito cuando sus elementos se pueden contar y el

proceso de conteo culmina.

CONJUNTOS VACIOS

Son todos aquellos conjuntos que se caracterizan por carecer ó no tener elemento alguno. El conjunto vacío se
denota con el símbolo ∅ , se lee vacío.

H = {x/x digito, primo, impar, divisible por 2} H = ∅ ó H = { }
N = {y/y departamento de Colombia con capital New York} N = ∅ ó N = { }

CONJUNTOS UNITARIO

Son todos aquellos conjuntos que se caracterizan por tener un único elemento. El conjunto vacío se denota con cualquier letra mayúscula del abecedario

F = {w/w es un satélite natural del planeta tierra}
F = {Luna}

L = {z/z es un número digito, primo, par}
L = {2}

CONJUNTOS UNIVERSAL REFERENCIAL

El conjunto universal referencial, se representa siempre con la letra U, es el mayor de todos los conjuntos y está conformado por elementos de toda clases y características.
Para el estudio de cálculo, solo se tendrá en cuenta, conjuntos conformados únicamente por elementos que
tengan una característica ó propiedad en común.

U1 = {x/x es una letra del abecedario}
U1 = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}

U2 = {y/y sea un número digito}
U2 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

CONJUNTO INFINITOS

Un conjunto se dice que es infinito cuando sus elementos se pueden contar pero el proceso de conteo no termina.

Dentro de los conjuntos infinitos se encuentran los siguientes conjuntos numéricos:

N: Conjunto de los números naturales

Z: Conjunto de los números enteros

Q: Conjunto de los números racionales

R: Conjunto de los números reales

TEMA IV

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Entre dos ó más conjuntos, finitos ó infinitos, se pueden realizar las operaciones de:

1) Unión, su notación es: U

2) Intersección, su simbología es: ∩

3) Complemento, se denota como: C

4) Diferencia, su notación es: −

5) Diferencia Simétrica, se simboliza así: △

DEFINICIÓN FORMAL DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Supóngase que A ⊂ U y B ⊂ U, dos conjuntos no vacíos, es decir: A ≠ φ y B ≠ φ
1) A ⋃ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
2) A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B}

3) Ac = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A}

4) A − B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}

5) A △ B = {x/x ∈ (A ⋃ B) ∧ x ∉ (A ∩ B)}

En lenguaje cotidiano, cada una de las operaciones se pueden expresar así:

1) A ⋃ B: Es la reunión de los elementos de A y de B en un solo conjunto, sin repetir elementos.

2) A ∩ B: Es el nuevo conjunto formado por los elementos comunes ó iguales que se encuentran simultáneamente en A y en B.

3) Ac : Es el nuevo conjunto formado por los elementos que se encuentran en el conjunto universal referencial U pero que no están en A.

4) A − B: Es el nuevo conjunto formado por los elementos exclusivos de A, elementos que solo tiene el conjunto A

y que no los comparte con el conjunto B.

5) A △ B: Es el nuevo conjunto formado por la Unión de A y B pero excluyendo, quitando la intersección, (ver la definición de unión e intersección).

Sea U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}

A = {2,4,6,8,0}

B = {1,2,3,6}

A ⋃ B = {2,4,6,8,0,1,3}

A ∩ B = {2,6}

Ac = {1,3,5,7,9}

Bc = {4,5,7,8,9,0}

A − B = {4,8,0}

B − A = {1,3}

A △ B = {4,8,0,1,3}

Sea U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}

A = {2,4,6,8,0}

B = {1,2,3,6}

C = {1,2}

D = {2,3,5,7}

(B ∩ A) − D

1(B ∩ A) = {2,6} 1)

2 (B ∩ A) − D = {6}

(A − B) ∩ (D △ C)

1(A − B) = {4,8,0}

2(D △ C) = {1,3,5,7}

3(A − B) ∩ (D △ C) = φ

TEMA V

OPERACIONES GRAFICAS ENTRE DOS CONJUNTOS

TEMA VI

OPERACIONES GRAFICAS ENTRE TRES CONJUNTOS