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Vectores en el espacio

Formas de expresar un vector y vector unitario

Datos Iniciales a→= 5 ⋅ i→+ 4 ⋅ j→

Desarrollo de la solución Dado que la ecuación de un vector es de la forma a→= ax ⋅ i→+ay ⋅ j→ podemos ver claramente que las componentes cartesianas del vector a son ax = 5 y ay = 4. Si aplicamos la fórmula para calcularlas: ax=Bx−Ax ay=By−Ay y despejamos Ex y Ey y sustituimos el resto de valores: Ex=ax+Ox ⇒ Ex = 5 + 0 ⇒Ex= 5Ey=ay+Oy ⇒ Ey = 4 + 0 ⇒Ey= 4E = (Ex, Ey) ⇒ E = (5,4)

por lo tanto tenemos que el vector a tiene como punto de origen O(0,0) y como punto de extremo E(5,4). Ya solo queda representarlo en el eje de coordenadas.

Solución

Gráficamente, un vector se representa como una flecha ubicada en un eje de coordenadas. En esta flecha podemos identificar cada uno de los elementos que lo conforman y que estudiamos en el apartado anterior, además de algunos más.

Ángulos directores

Se llaman ÁNGULOS DIRECTORES de un vector, a los ángulos que el vector forma con las direcciones positivas de los ejes coordenados. Estos ángulos deberán ser tomados entre 0 y π (0º y 180º). Si el vector V está en R3 y sus componentes son: (v1, v2, v3) tiene tres ángulos directores: α (ángulo formado con la dirección positiva del eje x); β (ángulo formado con la dirección positiva del eje y) y γ (ángulo formado con la dirección positiva del eje z).

Ejes de coordenadas

El eje horizontal se llama eje X o eje de abscisas. El eje vertical se llama eje Y o eje de ordenadas. El punto O, donde se cortan los dos ejes, es el origen de coordenadas. Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).

Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes iguales y a cada una de ellas se les llama cuadrante

Lo forman dos ejes perpendiculares entre sí, que se cortan en el origen.

Módulo o tamaño de un vector

Propiedades

Desigualdad triangular: El módulo de la suma de dos vectores es menor o igual que la suma de módulos.

Relación con el producto escalar: El módulo de la suma de dos vectores está relacionado con el producto escalar y los módulos respectivos de los vectores

Cálculo

Dado un vector del espacio euclídeo tridimensional expresado por sus componentes, su módulo es el número real dado por la expresión.

En física, se llama módulo de un vector a la norma matemática del vector de un espacio euclídeo ya sea este el plano euclídeo o el espacio tridimensional. El módulo de un vector es un número que coincide con la "longitud" del vector en la representación gráfica. El concepto de norma de un vector generaliza el concepto de módulo de un vector del espacio euclídeo.

Definición de vector

Es un ente matemático como la recta o el plano. Un vector se representa mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano tridimensional. El vector tiene 3 elementos: módulo, dirección y sentido. Los vectores nos permiten representar magnitudes físicas vectoriales, como las mencionadas líneas abajo.