Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho
espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Caracteristicas
1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector
se llama dimensión de un espacio E al
número de elementos que tiene una cualquiera de sus bases.
Caracteristicas
- Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0.
- La dimensión de un subespacio en ℜn, coincide con número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...)
-Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S .≤ dim T Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.
- El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan.
- Es decir: si v 1,v2,. . . vn generan un cierto subespacio S, y si el rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r.